1.5. Угловая скорость и угловое ускорение

Рассмотрим твердое тело, которое вращается вокруг неподвижной оси. Вращательное движение − это такое движение, при котором все точки твердого тела описывают окружности, с центрами лежащими на одной прямой, являющейся осью вращения. Пусть некоторая точка М движется по окружности радиуса R (рис. 1.16) вокруг оси вращения ОО. Заметим, что чем дальше отстоят от оси вращения точки рассматриваемого тела, тем большие пути они проходят за один и тот же промежуток времени , соответственно, тем больше их скорости =. Поэтому для описания вращательного движения тела неудобно пользоваться такими понятиями кинематической точки, как перемещение, пройденный путь, скорость и ускорение. В этом случае, мерой перемещения всего тела, каждой его точки, за малый промежуток времени служит вектор .

Рис. 1.16. Вращательное движение точки M

Модуль вектора равен углу поворота, а его направление совпадает с направлением поступательного движения острия винта, головка которого вращается в направлении движения точки по окружности, т.е. подчиняется правилу правого винта (рис. 1.16). Векторы, направления которых связываются с направлением вращения, называются псевдовекторами или аксиальными векторами. Эти векторы не имеют определенных точек приложения: они могут откладываться из любой точки оси вращения.

Кинематической характеристикой направления и быстроты вращения тела служит угловая скорость тела, равная отношению вектора элементарного поворота тела к продолжительности этого поворота:

. (1.26)

Вектор направлен вдоль оси вращения по правилу правого винта, т.е. так же, как и вектор . Размерность угловой скорости [ω] =T ^-1, а ее единица – радиан в секунду (рад/с). Модуль угловой скорости равен . Вращение с постоянной угловой скоростью называется равномерным. Если вращение является равномерным, то ω = φ/, где φ − конечный угол поворота за время . Таким образом, при равномерном вращении ω показывает, на какой угол поворачивается тело за единицу времени.

Равномерное вращение можно характеризовать периодом вращения T, т.е. время, за которое тело делает один оборот, (поворачивается на угол ). Поскольку промежутку времени ∆ = T соответствует угол поворота ∆ = , то

ω=/T, (1.27)

откуда

T=/ω. (1.28)

Число оборотов в единицу времени равно

=1/T=ω/. (1.29)

Из (1.27) следует, что угловая скорость равна умноженное на число оборотов в единицу времени:

ω=. (1.30)

При неравномерном движении тела вокруг неподвижной оси его угловая скорость изменяется. Вектор, характеризующий быстроту изменения угловой скорости тела, называется угловым ускорением.

=. (1.31)

Угловое ускорение, как и угловая скорость, является псевдовектором, оно направлено вдоль оси вращения в сторону вектора элементарного приращения угловой скорости.

При равнопеременном движении может быть больше или меньше нуля. Если >0, то это равноускоренное движение и и сонаправлены. Если <0, то это равнозамедленное движение, и и противонаправлены (рис. 1.17). Поэтому кинематические уравнения равнопеременного движения имеют вид:

=₀ ± t, =₀ t± t²/2. (1.32)

Рис. 1.17. Направление векторов и при равнопеременном

движении вокруг оси ОО'

Отдельные точки вращающегося тела имеют различные линейные скорости . Скорость каждой точки непрерывно изменяет свое направление. Модуль скорости определяется скоростью вращения тела и расстоянием R рассматриваемой точки от оси вращения. Пусть за малый промежуток времени тело повернулось на угол ∆ (рис. 1.16). Точка, находящаяся на расстоянии R от оси проходит при этом путь ∆s=R∆φ. Линейная скорость точки равна

=. (1.33)

Таким образом,

=. (1.34)

Формула (1.34) связывает модули линейной и угловой скоростей.

Найдем выражение, связывающее векторы и . Положение рассматриваемой точки тела будем определять радиус-вектором, проведенным из лежащего на оси вращения начала координат О (рис. 1.18).

Рис. 1.18. Положение точки М при вращательном движении

определяется радиус-вектором проведенным из лежащего

на оси вращения начала координат О

Из рис. 1.18 видно, что векторное произведение [] совпадает по направлению с вектором и имеет модуль, равный . Следовательно,

=[]. (1.35)

Модуль нормального ускорения точки вращающегося тела равен

|| = .

Подставив сюда значение из (1.34), получим:

||=²R. (1.36)

Если ввести перпендикулярный к оси вращения вектор, проведенный в данную точку тела, то соотношению (1.36) можно придать векторный вид:

=-. (1.37)

Минус в этой формуле указывает на то, что векторы и имеют противоположные направления.

Тангенциальная составляющая ускорения равна d/d. Воспользовавшись соотношением = и учтя, что расстояние рассматриваемой точки от оси вращения R=const, можно написать

|_τ|=. (1.38)

Следовательно, модуль тангенциального ускорения связан с модулем углового ускорения соотношением

|_τ|=. (1.39)

Таким образом, нормальное и тангенциальное ускорения растут линейно с увеличением расстояния от точки до оси вращения.