4.4. Момент импульса и закон его сохранения

Аналогично моменту силы определяется момент импульса (момент количества движения) материальной точки. Моментом импульса (количество движения) материальной точки А относительно неподвижной точки О называется физическая величина, определяемая векторным произведением:

, (4.20)

где – радиус-вектор, проведенный из точки О в точку А;

- импульс материальной точки (рис. 4.16);

– псевдовектор, его направление совпадает с направлением поступательного движения правого вектора при его вращении от к , рис. 4.16.

Рис. 4.16. Момент импульса материальной точки относительно

неподвижной точки

Модуль вектора момента импульса

L = r×p×sina = m××r×sina =pl , (4.21)

где a – угол между векторами и ;

l – плечо вектора относительно точки О.

Моментом импульса относительно неподвижной оси z называется составляющая по этой оси момента импульса относительно точки О, лежащей на оси (рис. 4.17).

. (4.22)

Повторив рассуждения, которые привели к формуле (4.10), найдем, что

, (4.23)

где R – составляющая радиуса-вектора , перпендикулярная к оси z;

– составляющая вектора , перпендикулярная к плоскости, проходящей через ось z и точку m.

Рис. 4.17. Момент импульса относительно неподвижной оси

Выясним, чем определяется изменение момента импульса со временем. Для этого продифференцируем (4.20) по времени t, воспользовавшись правилом дифференцирования произведения:

. (4.24)

Первое слагаемое равно нулю, т.к. оно представляет собой векторное произведение векторов одинакового направления. В самом деле, вектор равен вектору скорости и, следовательно, совпадает по направлению с вектором . Вектор по второму закону Ньютона равен действующей на тело силе . Следовательно, выражение (4.24) можно написать так:

, (4.25)

где – момент приложенных к материальной точке сил, взятой относительно той же точки О, относительно которой берется момент импульса .

Из соотношения (4.25) следует, что если результирующий момент действующих на материальную точку сил относительно какой-либо точки О равен нулю, то момент импульса материальной точки, взятой относительно той же точки О будет оставаться постоянным.

Взяв состояние по оси z от векторов, входящих в формулу (4.25) получим:

. (4.26)

Производная по времени от момента импульса равна моменту силы.

Пример. Материальная точка массы m движется по окружности радиуса R (рис. 4.18). Момент импульса материальной точки относительно центра окружности О равен по модулю:

L = m×v×R.

Рис. 4.18. Момент импульса материальной точки

при движении по окружности

Вектор перпендикулярен к плоскости окружности, причем направление движения точки и вектор образуют правовинтовую систему.

Поскольку плечо, равное R, остается постоянным, момент импульса может изменяться только за счет изменения модуля скорости. При равномерном движении материальной точки по окружности момент импульса остается постоянным и по величине и по направлению. В этом случае момент силы, действующей на материальную точку, равен нулю.

Закон сохранения момента импульса

Рассмотрим систему из N материальных точек. Разобьем силы, действующие на точки на внутренние () и внешние ().

Рис. 4.19. Действие сил на систему материальных точек

Результирующий момент внутренних сил, действующих на i-ю материальную точку, обозначим символом , результирующий момент внешних сил, действующих на ту же точку – символом . Тогда уравнение (4.25) для i – й материальной точки будет иметь вид:

, (i = 1, 2,…, N).

Это выражение представляет собой совокупность N уравнений, отличающихся друг от друга значениям индекса i. Сложив эти уравнения, получим:

. (4.27)

Величина

(4.28)

называется моментом импульса системы материальных точек.

Сумма моментов внутренних сил (первая из сумм в правой части формулы (4.27), равна нулю. Следовательно, обозначив суммарный момент внешних сил символом , можно написать, что

. (4.29)

Для замкнутой системы материальных точек = 0, вследствие чего, суммарный момент импульса не зависит от времени. Закон сохранения момента импульса: момент импульса замкнутой системы материальных точек остается постоянным.

Однако момент импульса остается постоянным и для системы, подвергающейся внешним воздействиям, при условии, что суммарный момент внешних сил, действующих на тела системы, равен нулю.

Взяв от векторов стоящих в левой и правой частях уравнения (4.29), их составляющие по оси z, придем к уравнению:

. (4.30)

Если результирующий момент внешних сил относительно точки О отличен от нуля (), но равна нулю соответствующая вектора по некоторому направлению z, тогда согласно (4.30) будет сохраняться составляющая момента импульса системы по оси z.