11.7. Стоячие волны
11.7.1. Уравнение стоячей волны
При распространении в упругой среде одновременно нескольких волн возникает их наложение, причем волны не возмущают друг друга: колебания частиц среды оказываются векторной суммой колебаний, которые совершали бы частицы при распространении каждой из волн в отдельности. Это называют принципом суперпозиции (наложения) волн.
Рассмотрим случай, когда две гармонические волны с одинаковыми частотой ω и амплитудой a распространяются в противоположных направлениях оси X:
и
.
Выберем начало отсчета времени и координаты так, чтобы начальные фазы были равны нулю.
Суперпозиция этих волн дает:
,
.
(11.8)
Это
уравнение стоячей
волны. Ее
частота та же, а амплитуда равна
и зависит от x.
В точках, где
,
находятся максимумы – пучности,
а где
,
– минимумы – узлы.
Период
равен π,
поэтому
и
.
Интервалы между соседними пучностями
или узлами равны половине длины волны.
Рис. 11.6. Стоячие волны
Между двумя соседними узлами все точки среды колеблются синфазно, при переходе же через узел фаза изменяется на π, т.е. колебания по разные стороны от узла происходят в противофазе. Узлы смещения как бы разделяют среду на автономные области, в которых гармонические колебания совершаются независимо. Никакой передачи движения из одной области к другой, а значит и перетекания энергии через узлы не происходит. Нет никакого распространения возмущения вдоль оси X. Именно поэтому возмущения, описываемые формулой (11.8), и называют стоячей волной.
11.7.2. Энергия стоячей волны
Определим
с помощью (11.8) выражение для скорости
частиц среды и ее относительной деформации
.
Видно,
что обе величины тоже стоячие волны,
сдвинутые относительно друг друга по
фазе на
– как в пространстве, так и во времени.
Кроме того, узлы и пучности скорости
частиц среды совпадают с узлами и
пучностями их смещения. Узлы же и пучности
деформации совпадают соответственно
с пучностями и узлами смещения.
Рис. 11.7. Энергия стоячей волны
Соответственно происходят превращения энергии стоячей волны: то полностью в потенциальную, то полностью в кинетическую. В процессе колебаний происходит перетекание энергии от каждого узла к соседним с ним пучностям и обратно. Средний же по времени поток энергии в любом сечении стоячей волны равен нулю.
Рис. 11.8. Плотность энергии стоячей волны
11.8. Эффект Доплера для звуковых волн
Пусть
источник, находящийся в газе или жидкости,
испускает короткие импульсы с частотой
ν.
Если источник и приемник покоятся
относительно среды в которой
распространяется волна, то частота
воспринимаемых приемником импульсов
будет равна частоте ν
источника. Если же источник, или приемник,
или оба движутся относительно среды,
то частота ν/,
воспринимаемая приемником, вообще
говоря, оказывается отличной от частоты
источника:
.
Это явление называют эффектом
Доплера.
Сначала рассмотрим случай, когда источник S и приемник Р движутся вдоль проходящей через них прямой с постоянными скоростями u и u/ соответственно (относительно среды).
Если
бы двигался только источник навстречу
приемнику, испуская импульсы с периодом
,
то за это время очередной импульс пройдет
относительно среды расстояние
,
где v
– скорость волн в среде, и пока будет
испущен следующий импульс, источник
«нагонит» предыдущий импульс на
расстояние uT.
Расстояние между импульсами станет
равным
.
Воспринимаемая неподвижным приемником частота равна
.
Рис. 11.9. Эффект Доплера
Если
движется и приемник (навстречу источнику),
то импульсы относительно приемника
будут иметь скорость
и число воспринимаемых за единицу
времени импульсов
.
При движении источника и приемника в противоположных направлениях, знаки перед u/ и u надо поменять на противоположные.
Последнюю формулу можно записать в иной форме:
,
где
и
– проекции скоростей приемника и
источника на ось X,
проходящую через них и положительное
направление которой совпадает с
направлением распространения импульсов,
т.е. от приемника к источнику.