11.6. Энергия упругой волны

11.6.1. Плотность энергии упругой волны

Найдем выражение для плотности упругой (потенциальной) энергии растянутого (или сжатого) стержня. Приложим к торцу стержня другой конец которого закреплен, растягивающую силу F(x) и будем медленно увеличивать ее от 0 до F₀. Удлинение стержня будет меняться от 0 до х. По закону Гука , где k – коэффициент упругости. Работа силы F(x) в этом процессе

.

Эта работа идет на увеличение упругой энергии стержня:

.

Учтя, что , , , получим

.

Плотность упругой энергии равна

.

При прохождении продольной волны в стержне каждая единица объема его обладает как потенциальной энергией упругой деформации , так и кинетической энергией . Плотность полной энергии

.

Для тонкого стержня , поэтому

.

Оба слагаемых равны друг другу, т.е. плотности кинетической и упругой энергии одинаковы и изменяются синфазно. Поэтому

.

В частности, для гармонической волны

.

Среднее значение плотности энергии за период равно

,

т.к. среднее значение квадрата синуса равно 1/2.

11.6.2. Плотность потока энергии

Так как энергия перемещается в среде вместе с возмущением, введем понятие потока энергии Ф. Это количество энергии, переносимое волной через поверхность S в единицу времени:

,

где dW – энергия, переносимая через данную поверхность за время dt.

Поток энергии в разных точках поверхности S может иметь различное значение, поэтому вводится понятие плотности потока энергии. Это поток энергии через единичную площадку, перпендикулярную к направлению переноса энергии:

,

где – энергия, заключенная внутри косого цилиндра с основанием dS и образующей , где v – скорость переноса энергии.

Размеры цилиндра малы, поэтому во всех его точках плотность энергии одинакова. Тогда , dV – объем цилиндра. Можно записать

.

Рис. 11.5. Поток энергии через единичную площадку

Учитывая это, можно записать плотность потока энергии

.

Для определения плотности потока и его направления вводят вектор Умова :

.

где – вектор скорости, нормальный к волновой поверхности.

В случае монохроматической волны вектор изменяется со временем по закону квадрата синуса. Поэтому среднее по времени значение вектора Умова можно записать так

.

Это выражение справедливо для волн любого вида – плоской, сферической, цилиндрической и др.

Среднее по времени значение плотности потока энергии называют интенсивностью волны: .