
- •Механика
- •Механика
- •Оглавление
- •Предисловие
- •Введение
- •Глава 1. Кинематика
- •Механическое движение
- •1.2. Некоторые сведения о векторах
- •1.3. Скорость
- •1.4. Ускорение
- •1.5. Угловая скорость и угловое ускорение
- •Глава 2. Динамика материальной точки
- •2.1. Первый закон Ньютона. Инерциальные системы отсчета
- •2.2. Второй закон Ньютона
- •2.3. Третий закон Ньютона
- •2.4. Сила. Силы трения
- •2.5. Импульс. Закон сохранения импульса
- •2.6. Центр масс. Движение тела переменной массы
- •Глава 3. Работа и энергия
- •3.1. Понятие о работе и энергии. Мощность. Консервативные
- •Кинетическая энергия
- •Потенциальная энергия
- •Закон сохранения механической энергии
- •Графическое представление энергии.
- •3.6. Применение законов сохранения энергии и импульса
- •Используя (3.32), получаем
- •Движение в центральном поле сил
- •Глава 4. Механика твердого тела
- •4.1. Движение твердого тела
- •4.2. Момент силы
- •4.3. Центр масс твердого тела и его движение
- •4.4. Момент импульса и закон его сохранения
- •4.5. Основное уравнение динамики вращательного движения
- •4.6. Момент инерции
- •4.7. Кинетическая энергия твердого тела
- •4.7.1. Вращение тела вокруг неподвижной оси
- •4.7.2. Работа внешних сил при вращении твердого тела
- •4.7.3. Кинетическая энергия тела при плоском движении
- •Глава 5. Тяготение. Неинерциальные системы
- •5.1. Развитие представлений о природе тяготения
- •5.2. Законы Кеплера. Закон всемирного тяготения
- •5.3. Гравитационное поле и его характеристики
- •5.4. Сила тяжести и вес. Невесомость
- •5.5. Космические скорости
- •5.6. Неинерциальные системы отсчета. Силы инерции
- •5.6.1. Силы инерции при ускоренном поступательном
- •5.6.2. Центробежная сила инерции
- •5.6.3. Сила Кориолиса
- •Глава 6. Элементы механики сплошных сред
- •6.1. Гидроаэростатика
- •6.1.1. Давление
- •6.1.2. Распределение давления в покоящихся жидкости и газе
- •6.1.3. Выталкивающая сила
- •6.2. Гидроаэродинамика
- •6.2.1. Линии и трубки тока. Неразрывность струи
- •6.2.2. Уравнение Бернулли
- •6.2.3. Измерение давления в текущей жидкости
- •6.2.4. Применение к движению жидкости закона сохранения
- •6.2.5. Силы внутреннего трения
- •6.2.6. Ламинарное и турбулентное течение
- •6.2.7. Движение тел в жидкостях и газах
- •6.2.8. Подъемная сила
- •Глава 7. Элементы специальной теории
- •7.1. Принцип относительности Галилея.
- •7.2. Постулаты специальной теории относительности
- •7.3. Преобразования Лоренца
- •7.4. Следствия из преобразований Лоренца
- •7.4.1. Одновременность событий в разных системах отсчета
- •7.4.2. Длительность событий в разных системах отсчета
- •7.4.3. Длина тел в разных системах отсчета
- •7.4.4. Релятивистский закон сложения скоростей
- •7.5. Интервал между событиями
- •7.6. Релятивистская динамика. Релятивистский импульс
- •7.7. Закон взаимосвязи массы и энергии
- •7.7.1. Кинетическая энергия релятивистской частицы
- •7.7.2. Закон взаимосвязи массы и энергии
- •7.7.3. Связь между энергией и импульсом частицы
- •Глава 8. Свободные гармонические колебания
- •8.1. Гармонические колебания и их характеристика
- •8.2. Механические гармонические колебания
- •8.3. Гармонический осциллятор. Пружинный, математический
- •8.4. Графическое изображение гармонических колебаний.
- •8.5. Сложение колебаний одинакового направления
- •8.6. Сложение взаимно перпендикулярных колебаний
- •Глава 9. Свободные Затухающие колебания
- •9.1. Дифференциальное уравнение свободных затухающих
- •9.2. Основные характеристики затухающих колебаний
- •Глава 10. Вынужденные колебания
- •10.1. Дифференциальное уравнение вынужденных колебаний
- •10.2. Решение дифференциального уравнения вынужденных
- •10.3. Резонанс. Примеры резонансных явлений
- •Глава 11. Волны в упругой среде
- •11.1. Упругие волны
- •11.2. Уравнение плоской и сферической волн
- •11.3. Уравнение плоской волны, распространяющейся
- •11.4. Волновое уравнение
- •11.5. Скорость распространения упругих волн
- •11.6. Энергия упругой волны
- •11.6.1. Плотность энергии упругой волны
- •11.6.2. Плотность потока энергии
- •11.7. Стоячие волны
- •11.7.1. Уравнение стоячей волны
- •11.7.2. Энергия стоячей волны
- •11.8. Эффект Доплера для звуковых волн
- •Литература
- •Механика
- •302020, Г. Орел, Наугорское шоссе, 29.
8.4. Графическое изображение гармонических колебаний.
Векторная диаграмма
Решение ряда вопросов, в частности, сложение нескольких колебаний одного и того же направления, значительно облегчается и становится наглядным, если изображать колебания графически в виде векторов на плоскости. Полученная таким образом схема называется векторной диаграммой.
Возьмем ось, которую обозначим х (рис. 8.6).
Рис. 8.6. Векторная диаграмма
Из точки О, взятой
на оси, отложим вектор длины А,
образующий с осью угол j.
Если привести этот вектор во вращение
с угловой скоростью
,
то проекция конца вектора будет
перемещаться по оси х в пределах от –
А
до + А,
причем координата этой проекции будет
изменяться со временем по закону
.
Следовательно, проекция конца вектора на ось будет совершать гармоническое колебание с амплитудой, равной длине вектора, круговой частотой, равной угловой скорости вращения вектора, и начальной фазой, равной углу, образуемому вектором с осью в начальный момент времени.
Из сказанного следует, что гармоническое колебание может быть задано с помощью вектора, длина которого равна амплитуде колебания, а направление вектора образует с осью х угол, равный начальной фазе колебания.
8.5. Сложение колебаний одинакового направления
Возможны случаи, когда тело участвует одновременно в нескольких колебаниях, происходящих вдоль одного и того же или вдоль различных направлений. Если, например, подвесить шарик на пружине к потолку вагона, качающегося на рессорах, то движение шарика относительно поверхности Земли будет складываться из колебаний вагона относительно Земли и колебаний шарика относительно вагона.
Рассмотрим сложение двух гармонических колебаний одинакового направления и одинаковой частоты. Смещение х колеблющегося тела будет суммой смещений х1 и х2, которые запишутся следующим образом:
,
(8.35)
.
Представим оба
колебания с помощью векторов
и
(рис. 8.7). Построим по правилам сложения
векторов результирующий вектор
.
Проекция этого вектора на ось х
равна сумме проекций слагаемых векторов:
.
Рис. 8.7. Сложение колебаний
одинакового направления
Следовательно,
вектор
представляет собой результирующее
колебание. Этот вектор вращается с той
же угловой скоростью
,
как и векторы
и
,
так что результирующее движение будет
гармоническим колебанием с частотой
,
амплитудой А и начальной фазой j.
Из построений видно, что
(8.36)
.
(8.37)
Таким образом,
тело, участвуя в двух гармонических
колебаниях одного направления и
одинаковой частоты, совершает также
гармоническое колебание в том же
направлении и с той частотой, что и
складываемые колебания. Амплитуда
результирующего колебания зависит от
разности фаз ()
складываемых колебаний.
Проанализируем
выражения (8.36) и (8.37) в зависимости от
разности фаз ():
1)
=
,
тогда
,
т.е. амплитуда результирующего колебания
А равна сумме амплитуд складываемых
колебаний;
2)
=
,
тогда
,
т.е. амплитуда результирующего колебания
равна разности амплитуд складываемых
колебаний.