7.4.4. Релятивистский закон сложения скоростей

Рассмотрим движение материальной точки в системе К^/ со скоростью u^/, которая в свою очередь движется относительно системы К со скоростью v. Определим скорость точки u в системе К. В системе К движение точки в каждый момент времени t определяется координатами x, y, z, а в системе К^/ в момент времени t^/ – координатами x^/, y^/, z^/. Проекции векторов скорости точки на оси координат равны

, , , , . (7.15)

Согласно преобразованиям Лоренца

, , , . (7.16)

Используя (7.15) и (7.16), можно получить релятивистский закон сложения скоростей специальной теории относительности:

(7.17)

Если материальная точка движется параллельно оси x, то скорость u относительно системы К совпадает с u_x, а скорость u^/ относительно К^/ – c . Тогда закон сложения скоростей примет вид:

, . (7.18)

Если скорости v, u^/ и u малы по сравнению со скоростью света, то формулы (7.17) переходят в закон сложения скоростей классической механики.

Релятивистский закон сложения скоростей подчиняется второму постулату Эйнштейна:

.

Если складываемые скорости близки к скорости света, то результирующая скорость всегда будет меньше или равна скорости света. Рассмотрим предельный случай . После подстановки в (7.18) получим , таким образом, при сложении любых скоростей результат не может превысить скорость света в вакууме.

7.5. Интервал между событиями

Каждое событие можно охарактеризовать четырьмя числами: координатами места, где оно произошло (x, y, z) временем t, когда оно произошло. Введем воображаемое четырехмерное пространство, на координатных осях которого будем откладывать пространственные координаты и время. В этом пространстве событие изобразится точкой, которую называют мировой точкой. Любой частице (даже неподвижной) соответствует в четырехмерном пространстве линия, называемая мировой линией (для покоящейся точки это прямая, параллельная оси t). Пусть два события имеют координаты x₁, y₁, z₁, t₁ и x₂, y₂, z₂, t₂ соответственно. Величину

(7.19)

называют интервалом между событиями. Введя расстояние

(7.20)

между точками обычного трехмерного пространства, в которых произошли события, и, обозначив , формулу интервала можно записать в виде

. (7.21)

Покажем, что интервал между двумя событиями одинаков во всех инерциальных системах отсчета. Обозначив , , , , выражение (7.19) можно записать в виде

.

Интервал между теми же событиями в системе К^/ равен

. (7.22)

Используем преобразования Лоренца

, , , .

Подставив эти значения в (7.22) и сделав преобразования, по-лучим

, т.е. .

Таким образом, интервал, определяя пространственно-временные соотношения между событиями, является инвариантом при переходе от одной инерциальной системы отсчета к другой. Инвариантность интервала означает, что, несмотря на относительность длин и промежутков времени, течение событий носит объективный характер и не зависит от системы отсчета.

Кроме того, инвариантность интервала между двумя событиями свидетельствует о том, что пространство и время органически связаны между собой и образуют единую форму существования материи – пространство-время. Пространство и время не существуют вне материи и независимо от нее.