5.3. Гравитационное поле и его характеристики

Гравитационное взаимодействие между телами осуществляется через гравитационное поле. Всякое тело изменяет свойства окружающего его пространства – создает в нем гравитационное поле. Это поле проявляет себя в том, что помещенное в него другое тело оказывается под действием силы:

. (5.3)

Об "интенсивности" гравитационного поля, очевидно, можно судить по величине силы, действующей в данной точке на тело с массой, равной единице. В соответствии с этим величину

. (5.4)

называют напряженностью гравитационного поля. Напряженность является силовой характеристикой поля тяготения. Размерность g совпадает с размерностью ускорения. Напряженность поля тяготения вблизи поверхности Земли равна ускорению свободного падения g.

Поле тяготения называется однородным, если его напряженность во всех точках одинакова, и центральным, если во всех точках поля векторы напряженности направлены вдоль прямых, которые пересекаются в одной точке.

Определим работу, совершаемую силами поля тяготения при перемещении в нем материальной точки массой m. Вычислим, какую надо затратить работу для удаления тела массой m от Земли. На расстоянии R (рис. 5.4) на данное тело действует сила

.

При перемещении этого тела на расстояние dR совершается работа

. (5.5)

Знак минус появляется потому, что сила и перемещение в данном случае противоположны по направлению.

Рис. 5.4. Перемещение тела на расстояние dR

Если тело перемещать с расстояния R₁ до R₂, то работа

. (5.6)

Из формулы (5.6) вытекает, что затраченная работа в поле тяготения не зависит от траектории перемещения, а определяется лишь начальным и конечным положениями тела, т.е силы тяготения консервативны, а поле тяготения потенциально.

Известно, что работа, совершаемая консервативными силами, равна изменению потенциальной энергии системы, взятому со знаком минус, т.е.

. (5.7)

Из сравнения формул (5.6) и (5.7) получаем

. (5.8)

Так как в формулы входит только разность потенциальных энергий в двух состояниях, то нулевой уровень потенциальной энергии выбирается при . Тогда (5.8) запишется в виде . Так как первая точка была выбрана произвольно, то

.

Величина

,

является энергетической характеристикой поля тяготения и называется потенциалом. Потенциал поля тяготения  - скалярная величина, определяемая потенциальной энергией тела единичной массы в данной точке поля или работой по перемещению единичной массы из данной точки поля в бесконечность. Таким образом, потенциал поля тяготения, создаваемого телом массой М, равен

, (5.9)

где R – расстояние от этого тела до рассматриваемой точки.

Из формулы (5.9) вытекает, что геометрическое место точек с одинаковым потенциалом образует сферическую поверхность (R=const). Такие поверхности, для которых потенциал постоянен, называются эквипотенциальными.

Рассмотрим взаимосвязь между потенциалом поля тяготения и его напряженностью. Из выражений (5.6) и (5.9) следует, что элементарная работа dA, совершаемая силами поля при малом перемещении тела массой m, равна

.

С другой стороны, =mgdl (dl – элементарное перемещение). Тогда , или

.

Величина характеризует изменение потенциала на единицу длины в направлении перемещения в поле тяготения. Иначе говоря

, (5.10)

где - градиент скаляра . Знак минус в формуле (5.10) показывает, что вектор напряжённости направлен в сторону убывания потенциала.

В качестве частного примера, исходя из представлений теории тяготения, рассмотрим потенциальную энергию тела, находящегося на высоте h относительно Земли:

,

где R₀ – радиус Земли. Так как

и , (5.11)

то, учитывая условие h << R₀, получаем

.

Таким образом, мы вывели формулу, которая постулировалась раньше.