5.2. Законы Кеплера. Закон всемирного тяготения

В XVII веке Иоганном Кеплером были сформулированы законы движения планет:

1. Каждая планета движется по эллипсу, в одном из фокусов которого находится Солнце.

2. Радиус-вектор планеты за равные промежутки времени описывает одинаковые площади.

3. Квадраты периодов обращения планет вокруг Солнца относятся как кубы больших полуосей их орбит.

Современная формулировка закона всемирного тяготения, открытого Исааком Ньютоном такова: между любыми двумя материальными точками действует сила взаимного притяжения, прямо пропорциональная произведению масс этих точек (m₁ и m₂) и обратно пропорциональна квадрату расстояния между ними (r²):

. (5.1)

В векторной форме:

, (5.2)

где обозначает единичный вектор.

Эта сила называется гравитационной (или силой всемирного тяготения). Силы тяготения всегда являются силами притяжения и направлены вдоль прямой, проходящей через взаимодействующие тела (рис. 5.1). Коэффициент пропорциональности G называется гравитационной постоянной.

Рис. 5.1. Направление сил притяжения между телами

Закон всемирного тяготения установлен для тел, принимаемых за материальные точки, т.е. для таких тел, размеры которых малы по сравнению с расстоянием между ними. Если же размеры взаимодействующих тел сравнимы с расстоянием между ними, то эти тела необходимо разбить на точечные элементы, подсчитать по формуле (5.1) силы притяжения между всеми попарно взятыми элементами, а затем геометрически их сложить (проинтегрировать), что является довольно сложной математической задачей. Если взаимодействующие тела однородны и имеют правильную форму, вычисления сильно упроща-ются.

Впервые экспериментальное доказательство закона всемирного тяготения для земных тел, а также числовое определение гравитационной постоянной G проведено английским физиком Г. Кавендишем. Принципиальная схема опыта Кавендиша, применившего крутильные весы, представлена на рис. 5.2. Легкое коромысло А с двумя одинаковыми шариками массой m=729 г подвешено на упругой нити В. На коромысле С укреплены на той же высоте массивные шары массой М=158 кг. Поворачивая коромысло С вокруг вертикальной оси, можно изменять расстояние между шарами с массами m и М. Под действием пары сил, приложенных к шарам m со стороны шаров М, коромысло поворачивается в горизонтальной плоскости, закручивая нить В до тех пор, пока момент сил упругости не уравновесит момент сил тяготения. Угол закручивания нити определяли по смещению на шкале светового зайчика, отбрасываемого зеркальцем, прикрепленным к середине коромысла. Зная упругие свойства нити, по измеренному углу поворота можно найти возникающие силы притяжения, а так как массы шаров известны, то и вычислить значение G.

Рис. 5.2. Схема опыта Г. Кавендиша

Более точные измерения гравитационной постоянной были произведены в 1898 г. Рихарцем. Идея этих опытов заключалась в следующем. Два шара одинаковых масс m были подвешены к разным концам коромысла рычажных весов В (рис. 5.3), установленных на массивной плоскопараллельной плите А. Один шар находился над плитой, а другой – под ней. Если шары находятся вдали от краев плиты, то на левый шар действует сила, направленная вертикально верх, а на правый – такая же по величине сила, направленная вертикально вниз. Поэтому равновесие весов нарушается. По отклонению стрелки весов из положения равновесия можно было измерить силы, действовавшие на шары со стороны плиты.

Рис. 5.3. Схема опыта Рихарца

Значение G, приводимое в таблицах фундаментальных физических постоянных, принимается равным 6,6720∙10^-11 , т.е два точечных тела массой по 1 кг каждое, находящиеся на расстоянии 1 м для от друга, притягиваются с силой 6,6720∙10^-11 Н. Очень малая величина G показывает, что сила гравитационного взаимодействия может быть значительной только в случае больших масс.