4.7. Кинетическая энергия твердого тела

4.7.1. Вращение тела вокруг неподвижной оси

Пусть тело вращается вокруг неподвижной оси z (рис. 4.26). Линейная скорость элементарной массы D m_i может быть представлена в виде:

,

где R_i – расстояние D m_i.от оси z.

Кинетическая энергия i-й элементарной массы равна:

.

Кинетическая энергия тела слагается из кинетических энергий его частей:

.

Рис. 4.26. Вращение твердого тела вокруг

неподвижной оси

Сумма в правой части этого соотношения представляет собой момент инерции тела I_z относительно оси вращения. Таким образом, кинетическая энергия тела, вращающегося вокруг неподвижной оси, равна:

. (4.47)

4.7.2. Работа внешних сил при вращении твердого тела

Найдем работу, которую совершают внешние силы при вращении тела вокруг неподвижной оси z. Обозначим внешнюю силу, приложенную к элементарной массе Dm_i, через . За время dt элементарная масса проходит путь (рис. 4.27)

,

где dj – угол, на который поворачивается тело за время dt.

Работа силы на этом пути определяется проекцией силы на направление перемещения, которую обозначим (t – единичный вектор касательной к окружности, по которой движется i-я элементарная масса; направление этого вектора совпадает с направлением перемещения в данный момент). Таким образом, .

Рис. 4.27. Работа внешних сил при вращении тела

вокруг неподвижной оси

Но равно модулю момента силы относительно оси z, т.е. , взятому со знаком «+», если положительна, и со знаком «–», если отрицательна. Следовательно,

. (4.48)

Элементарный угол поворота можно рассматривать как аксиальный вектор

.

Работа dA_i будет положительна, если вектор имеет такое же направление, как и dj, и отрицательна, если направление векторов и противоположны. Поэтому формуле (4.48) можно придать вид:

.

Работа всех сил, приложенных к телу, равна сумме работ, совершенных отдельными силами:

.

Сумма, стоящая в скобках, дает результирующий момент всех приложенных к телу внешних сил относительно оси вращения. Следовательно,

. (4.49)

Практически для вычисления работы пользуются выражением

, (4.50)

где под M_w подразумевается проекция результирующего момента приложенных к телу внешних сил на направление вектора . Работа за конечный промежуток времени находится путем интегрирования выражения (4.50).

. (4.51)

Если проекция результирующего момента сил на направление остается постоянной, ее можно вынести за знак интеграла:

. (4.52)