Используя (3.32), получаем

.

Если ударяемое тело было первоначально неподвижно (v₂ = 0), то

, .

Когда m₂  m₁ (масса неподвижного тела очень большая), то v  v₁ и почти вся кинетическая энергия тела при ударе переходит в другие формы энергии. Поэтому, например, для получения значительной деформации наковальня должна быть массивнее молотка. Наоборот, при забивании гвоздей в стену масса молотка должна быть гораздо большей (m₁  m₂), тогда v  v₁ и практически вся энергия затрачивается на возможно большее перемещение гвоздя, а не на остаточную деформацию стены.

Абсолютно неупругий удар – пример того, как происходит "потеря" механической энергии под действием диссипативных сил.

7. Движение в центральном поле сил

Рассмотрим частицу, находящуюся в центральном поле сил. Центральным полем сил называется силовое поле, в котором направление силы, действующей на частицу в любой точке поля, проходит через центр поля, а величина силы зависит только от расстояния до этого центра. Зависимость силы F от r имеет вид:

F= f (r), (3.33)

где f(r) – проекция вектора F на направление радиуса–вектора r. Для силы отталкивания функция f(r) положительна, для силы притяжения – отрицательна. Рис. 3.10 выполнен для случая отталкивания частицы массой m от силового центра О.

Рис. 3.10. Направление силы отталкивания для тела,

находящегося в центральном поле сил

Формула (3.33) справедлива для случая, если начало координат (т.е. точка, из которой проводятся радиусы–векторы) помещено в центр поля.

Обратимся к энергии частицы. Центральные силы являются консервативными. Согласно (3.10) работа консервативной силы равна убыли потенциальной энергии частицы. Поэтому для силы (3.33) имеет место соотношение dA= – dП, т.е.

dП = – dA= – f (r) dr.

Проинтегрировав это соотношение, получим, что

(3.34)

Из (3.34) следует, что потенциальная энергия частицы, находящейся в поле центральных сил, зависит только от расстояния до центра r: П=П(r).

Особый интерес представляют силы, обратно пропорциональные квадрату расстояния от силового центра. Для них функция f (r) имеет вид

, (3.35)

где  – постоянная величина ( > 0 соответствует случаю отталкивания от центра,  < 0 – случай притяжения к центру). К числу таких сил принадлежат гравитационные и кулоновские силы.

Подстановка функции (3.35) в выражение (3.34) дает:

,

где С – постоянная интегрирования. Обычно условно считают потенциальную энергию на бесконечности (т.е. при r=∞) равной нулю. При этом условии С=0, так что

. (3.36)

Итак, полная механическая энергия частицы, движущейся в поле центральных сил, обратно пропорциональных квадрату расстояния, определяется выражением

(3.37)

и остается постоянной. Учитывая, что момент импульса частицы в центральном поле сил также сохраняется, можно найти траекторию движения частицы (решение данной системы выходит за рамки общего курса физики, ограничимся тем, что приведем конечный результат). Траектория частицы представляет собой коническое сечение, т.е. либо эллипс, либо параболу, либо гиперболу.

В случае отталкивания (т.е. при >0) траекторией частицы может быть только гипербола (рис. 3.11).

Рис. 3.11. Траектория частицы в случае

отталкивания от центра силового поля

При >0 полная энергия не может быть отрицательной.

В случае притяжения (т.е. при <0) полная энергия может быть как положительной, так и отрицательной, в частности, она может оказаться равной нулю.

Рис. 3.12. Траектория частицы в случае

притяжения к центру силового поля

При Е > 0 траектория оказывается гиперболой (рис. 3.12). При Е = 0 траектория будет параболой. Этот случай осуществляется, если частица начинает свое движение из состояния покоя на бесконечности. Наконец, при Е < 0 траекторией будет эллипс.

Движение по эллипсу является финитным, движение по параболе и гиперболе – инфинитным.