2.6. Центр масс. Движение тела переменной массы

В классической механике благодаря независимости массы от скорости импульс системы может быть выражен через скорость его центра масс. Центром масс или центром инерции называется такая воображаемая точка, радиус-вектор которой выражается через радиусы-векторы … материальных точек по формуле:

, (2.18)

где m_i и – соответственно масса и радиус-вектор i-ой материальной точки;

n – число материальных точек в системе;

– масса системы.

Продифференцировав (2.18) по времени, получим скорость центра масс:

.

Учитывая, что и , можно записать:

, (2.19)

т.е. импульс системы можно выразить как произведение массы системы на скорость ее центра масс.

Подставив (2.19) в (2.16), получим закон движения центра масс:

. (2.20)

Из (2.20) следует, что центр масс системы движется как материальная точка, масса которой равна суммарной массе всей системы и на которую действует сила, равная геометрической сумме всех внешних сил, действующих на систему.

Если система замкнута, то . Из (2.20) получаем, что , т.е. . Центр масс замкнутой системы либо движется прямолинейно и равномерно, либо покоится.

Рассмотрим движение тела с переменной массой. Масса меняется за счет потери или приобретения вещества в отличие от теории относительности, где масса меняется за счет изменения скорости тела.

Выведем уравнение движения тела переменной массы на примере движения ракеты. Пусть m(t) – масса ракеты в произвольный момент времени t, а – ее скорость. Импульс ракеты в этот момент времени будет. Спустя время dt масса и скорость ракеты получат приращения dm и (dm<0). Импульс ракеты станет равным . Добавим сюда импульс газов, образовавшихся за время , где dm_газ – масса газов, образовавшихся за время dt, а – их скорость. Найдем изменение импульса системы за время dt. Для этого вычтем из суммарного импульса в момент t + dt импульс системы в момент t. Это изменение равно :

,

где – геометрическая сумма всех внешних сил, действующих на тело.

Раскроем скобки в последнем равенстве:

.

Слагаемым можно пренебречь как бесконечно малым высшего порядка. По закону сохранения массы , откуда . Разность есть скорость истечения газов относительно ракеты – скорость газовой струи. С учетом этих равенств можем записать:

.

Разделим обе части равенства на dt:

. (2.21)

Уравнение (2.21) по форме совпадает со вторым законом Ньютона. Отличие в том, что масса тела не постоянна, а меняется со временем. К внешней силе добавляется слагаемое , которое может быть интерпретировано как реактивная сила, т.е. сила, действующая на ракету со стороны вырывающихся из нее газов. Уравнение (2.21) называется уравнением Мещерского или уравнением движения тела с переменной массой.

Если на ракету не действуют внешние силы, т.е. , то

.

Пусть ракета движется прямолинейно в направлении, противоположном скорости газовой струи. Если направление полета принять за положительное, то проекция вектора на это направление будет отрицательная. В скалярной форме предыдущее уравнение можно записать так: , следовательно,

.

Допустим, что скорость газовой струи постоянна. В этом случае

.

Постоянную С определим из начальных условий. Пусть в начальный момент времени скорость ракеты равна нулю, а масса – m₀. Тогда: , откуда . Следовательно,

, или . (2.22)

Соотношение (2.22) называется формулой Циолковского.