Преемственность неклассической логики от логики традиционной

Класс. логика последовательно проводит естественные математ. принципы  минимальность используемых понятий, распространение формализации на наиболее общую область, где она применима, доведение до конца тех предположений, которые мы вынуждены сделать. Она согласуется с четырьмя законами традиционной логики.

Первые из трех данных законов восходят к Аристотелю.

Закон тождества.

«…В самом деле, не означать что-то одно  значит ничего не означать; если же слова ничего не обозначают, то конец всякому рассуждению за и против, а в действительности  и в свою защиту, ибо невозможно что-либо мыслить, если не мыслить что-то одно» ( Аристотель)

Используемые понятия не должны подменяться в ходе одного и того же рассуждения.

Схоластическая формулировка:

А есть А или мат. формулировка: А  А

Поскольку эта формула не просто тавтология, а одна из самых простых и устойчивых к смене логических понятий тавтологий, закон тождества часто трактуется как полный трюизм. Но это далеко не всегда так. Не случайно даже сущ. выражение «типичные ошибки при нарушении закона тождества», например, «от смысла собирательного к смыслу разделительному» и др.

При формализации закон тождества неумолимо выдерживается в ходе рассуждения, ценой того, что он практически всегда нарушается в его начале и в конце.

Закон непротиворечия.

Этот закон считается ворым из основных законов Логики, сформулированных Аристотелем:

«Невозможно, чтобы одно и то же в одно и то же время было и небыло присуще одному и тому же в одном и том же отношении ( все другое, что мы могли бы уточнить, пусть будет уточнено во избежание словесных затруднений).

Оба утверждения А и А не могут выполняться одновременно.

Пара высказываний А и  А называется прямым противоречием.

Закону непротиворечия соответствует метод рассуждений, известный в трдиционной логике как приведение к абсурду (reductio ad absurdum). Чтобы доказать А, то есть чтобы опровергнуть А, наоборот, временно принимается А, и данное положение приводится к абсурду, т.е. из него выводится противоречие. Ему соответствует косвенное правило естественного вывода:

Допустим А

…

В  В



 А

Обычно в современной логике закон непротиворечия формулируется в виде математического утверждения

( А   А). Но у него есть другая математическая формулировка, которая более адекватно отражает его смысл. Это  требование непротиворечивости теории:

А и А не могут быть одновременно теоремами данной теории.

Выражением математического закона непротиворечия в логике можно считать правило, установленное средневековыми схоластами и имеющее в традиционной логике название: «Из лжи следует все что угодно» («ex falso quodlibet»):

А А



В

Зкон непротиворечия с самого начала осознавался как ограничение, аналогичное закону тождества. Очевидно, что одни и те же предметы в одно и то же время не могут обдадать отрицающими друг друга свойства. Тем не менее в жизни мы часто встречаем нарушение данного закона. Например, одно и то же действие может квалифицироваться и как законное, и как незаконное, поскольку законность включает не только букву законов, но и их толкование.

Для квазивысказываний , конечно же, непротиворечивости нельзя даже требовать. В частности, многие люди знают, что можно одновременно любить и ненавидеть одного и того же человека.

Закон непротиворечия принципиально отвергался в логике джайнов и буддистов, поскольку они отрицали наличие объективных понятий в нашем мире, и поэтому утверждение «А есть и В, и не-В» рассматривалось ими как вполне допустимое.

В современной логике закон непротиворечивости отвергается, в частности, для формализаций понятий, заложенных в базу данных, поскольку любое знание специалиста в достаточно сложной предметной области оказывается противоречивым по форме. Поэтому в настоящее время интенсивно развиваются паранепротиворечивые логики, в которых, во всяком случае, отвергается принцип ex falso quodlibet. Основоположником европейской паранепротиворечивой логики можно считать Н.А.Васильева. Интесивно стала она развиваться после трудов Ньютона Да Косты.

Паранепротиворечивой логикой приходится пользоваться также в тех случаях, когда выводы делаются по умолчанию ( если что-то не запрещено, то оно разрешено, или наоборот). Она показала свою полехность также дл задач ведения сложных баз данных, поскольку данные, заложенные в разное время, могут начать противоречить друг другу.

Но, тем не менее, опыт показывает, что если есть хоть малейшая возможность, нужно пытаться сохранять закон противоречия, и это окупается.

Закон исключенного третьего.

Оба утверждения А и А не могут опровергаться одновременно. («tertium non datur»)

Уже сам Аристотель отмечал, что закон исключенного третьего не может быть применен даже к некоторым высказываниям, В качестве прмера он приводил, в частности,

Завтра будет морское сражение.

В самом деле, сегодня ни оно, ни его отрицание не ложны. Тем более не универсальна часто используемая более жесткая формулировка закона исключенного третьего, также упоминавшаяся Аристотелем, но не являвшаяся главной для него:

Одно из утверждений А или  А истинно.

Эта формулировка в последнее время подменяется еще более узкой, сразу привязанной к одной из формализаций логики:

Булев закон исключенного третьего: А или  А