Комплексная общенаучная задача 5.

5.1 Производственно-техническая ситуация.

В процессе эксплуатации выяснилось, что проводка для запитки электродвигателя, выполненная медными проводами в трубе, греется. Возникла необходимость выяснить причину. Для исследования нагрева проводников было составлено следующее условие.

По медному проводнику сечением длиною пропускается электрический ток силой . Удельное сопротивление материала проводника равно . Теплоотдача провода составляет и не зависит от температуры проводника. Теплоемкость окружающей среды равна бесконечности. Температура окружающей среды равна.

5.2 Разрешение производственно-технической ситуации.

Приводим последовательность Ваших рассуждений и действий по разрешению производственно – технической ситуации.

Прежде всего Вы составили себе алгоритм разрешения производственно-технической ситуации:

1. Записать условие, введя буквенные обозначения указанных в условии величин.

2. Составить дифференциальное уравнение теплового баланса провода, введя понятие повышения температуры провода над температурой окружающей среды во времени ().

3. Найти закон изменения превышения температуры провода над температурой окружающей среды в функции времени .

4. Составить программу расчета превышения температуры провода над температурой окружающей среды в функции времени (на микрокалькуляторе или ЭВМ).

5. Рассчитать график изменения превышения температуры провода над температурой окружающей среды в функции времени и результаты занесите в таблицу. Значения времени взять пропорциональными постоянной времени нагрева.

6. Построить график . Найти графически постоянную времени нагрева провода, сравнить ее с расчетным значением.

Затем Вы приступили к выполнению алгоритма разрешения производственно-технической ситуации:

1. Составили условие задания:

2. Составили дифференциальное уравнение теплового баланса провода:

,

где С – теплоемкость провода, ;

– превышение температуры провода над температурой окружающей среды, ;

Л – теплоотдача провода, ;

Р – мощность потерь энергии в проводе, Дж;

– энергия, расходуемая на нагрев провода, Дж;

– энергия, отдаваемая в окружающую среду, Дж;

– энергия, поступающая в провод, Дж.

3. Нашли закон изменения превышения температуры провода над температурой окружающей среды, решив дифференциальное уравнение теплового баланса провода:

Преобразовали уравнение:

Ввели условные обозначения:

,

Назвали Т постоянной времени нагрева, единицей является секунда.

,

Назвали установившимся превышением температуры провода над температурой окружающей среды, единицей является градус Цельсия.

Переписали уравнение с учетом введенных обозначений:

Решили полученное дифференциальное уравнение, для чего составили характеристическое уравнение:

,

откуда нашли корень:

Превышение температуры провода над температурой окружающей среды будет содержать свободную и принужденную составляющие, то есть

Свободная составляющая определяется корнем характеристического уравнения и запишется следующим образом:

,

где А – постоянная интегрирования.

Принужденная составляющая равна установившемуся значению превышения температуры, то есть

Тогда общее решение дифференциального уравнения записали следующим образом

Нашли постоянную интегрирования из начальных условий:

при .

Тогда ,

откуда

Подставили значение постоянной интегрирования в общее решение дифференциального уравнения и получили искомый закон изменения превышения температуры провода:

или

Представили эту зависимость от графически (рис. 1).

4. Составили алгоритм расчета превышения температуры провода над температурой окружающей среды:

• определить значение постоянной времени нагрева:

;

• определить значение установившегося превышения температуры провода над температурой окружающей среды:

;

• задаться значениями отрезков времени кратными Т и найти для этих значений ;

• рассчитать превышение температуры шара над температурой окружающей среды в конце каждого очередного отрезка времени, то есть при значениях времени и так далее, используя уравнение

.

Составили программу расчета превышения температуры провода над температурой окружающей среды на микрокалькуляторе или ЭВМ.

5. Рассчитали график превышения температуры провода над температурой окружающей среды во времени:

,

,

,

,

,

.

Таблица 1.

	0	21	42	63	84	105	126	147	168	189	210
	0	0,1	0,2	0,3	0,4	0,5	0,6	0,7	0,8	0,9	1
	1	0,905	0,818	0,741	0,67	0,60	0,549	0,497	0,449	0,407	0,368
	0	10	19	27	35	41	47	53	58	62	66

6. Построили график превышения температуры провода над температурой окружающей среды (рис. 2).

Определили графически путем постоянную времени нагрева провода Т. Значение совпало с расчетным значением и равно 210 с.

Как видно из графика, значение постоянной времени нагрева Т, найденное графическим путем, равно 210 с, что соответствует расчетному значению.