Комплексная общенаучная задача 3.

3.1 Производственно-техническая ситуация.

Для создания устройства защиты электродвигателя от аварийных режимов работы потребовалась разработка элемента выдержки времени. Было предложено использовать для этого заряд конденсатора через резистор. Потребовалось рассчитать для разных режимов работы электродвигателя необходимые выдержки времени. Для этого было составлено следующее условие.

К источнику постоянного тока, электродвижущая сила которого равна Е, мгновенно подключается конденсатор с последовательно включенным резистором.

Емкость конденсатора равна 0,2 Ф, активное сопротивление резистора равно 1000 Ом. Требуется найти зависимость напряжения на зажимах конденсатора в функции времени для расчета необходимой выдержки времени.

3.2 Разрешение производственно-технической ситуации.

Приводим последовательность Ваших рассуждений и действий по разрешению производственно – технической ситуации.

Прежде всего Вы составили себе алгоритм разрешения производственно-технической ситуации:

1. Записать условие, введя буквенные обозначения указанных в задании величин.

2. Составить дифференциальное уравнение электрической цепи, введя обозначение напряжения на емкости после коммутации (включения) () и времени ().

3. Найти закон изменения напряжения на емкости в функции времени ().

4. Составить программу расчета напряжения на емкости в функции времени (на микрокалькуляторе или ЭВМ).

5. Рассчитать график изменения напряжения на емкости в функции времени и результаты занести в таблицу.

6. Построить график . Найти графически постоянную времени цепи, сравнить ее с расчетным значением.

Затем Вы приступили к выполнению алгоритма разрешения производственно-технической ситуации:

1. Составили условие задания:

2. Составили дифференциальное уравнение электрической цепи, введя обозначение напряжения на конденсаторе после коммутации (включения) () и времени ().

где – электродвижущая сила в цепи, В;

– емкость конденсатора, Ф;

– активное сопротивление резистора, Ом;

– напряжение на конденсаторе, В.

2. Нашли закон изменения напряжения на конденсаторе в функции времени (), решив дифференциальное уравнение цепи:

Ввели условное обозначение:

Назвали Т постоянной времени цепи, единицей является секунда.

Переписали уравнение с учетом введенных обозначений:

Решили полученное дифференциальное уравнение, для чего составили характеристическое уравнение:

откуда нашли корень:

Напряжение на конденсаторе будет содержать свободную и принужденную составляющие, то есть

Свободная составляющая определяется корнем характеристического уравнения и запишется следующим образом:

где А – постоянная интегрирования.

Принужденная составляющая равна электродвижущей силе, действующей в цепи, то есть

Тогда общее решение дифференциального уравнения записали следующим образом

Нашли постоянную интегрирования из начальных условий:

при .

Тогда ,

откуда .

Подставили значение постоянной интегрирования в общее решение дифференциального уравнения и получили искомый закон изменения напряжения на зажимах конденсатора:

Представили эту зависимость от графически (рис. 1).

4. Составили алгоритм расчета напряжения на конденсаторе во времени:

• определяем значение постоянной времени цепи:

• задаемся значениями отрезков времени кратным и находим для этих значений ;

• рассчитываем напряжение на зажимах конденсатора в конце каждого очередного отрезка времени, то есть при значениях времени и так далее, используя уравнение

Составили программу расчета напряжения на зажимах конденсатора на микрокалькуляторе или ЭВМ.

5. Рассчитали график изменения напряжения на зажимах конденсатора в функции времени :

принимаем

Таблица 1.

	0	20	40	60	80	100	120	140	160	180	200
	0	0,1	0,2	0,3	0,4	0,5	0,6	0,7	0,8	0,9	1
	1	0,905	0,818	0,741	0,67	0,666	0,549	0,497	0,449	0,407	0,368
	0	9,5	19,2	25,9	33,0	40,1	45,1	50,3	55,1	59,3	62,2

6. Построили график напряжения на зажимах конденсатора (рис. 2).

Определили графическим путем постоянную времени цепи Т. Значение совпало с расчетным значением и равно 200 с.

Как видно из графика, значение постоянной времени нагрева Т, найденное графическим путем, равно 200 с, что соответствует расчетному значению.