Комплексная общенаучная задача 6.

6.1 Производственно-техническая ситуация.

В связи с отсутствием газопроводной сети в селе, было принято решение использовать для отопления и горячего водоснабжения жилых домов электрическую энергию. Одновременно с этим было необходимо разработать систему энергосбережения в отоплении. Вам было поручено исследовать нагрев дома в периоды его разогрева и охлаждения и выдать предложения по энергосбережению, в частности, определить допустимое время охлаждения дома в заданных пределах.

6.2 Разрешение производственно-технической ситуации.

Приводим последовательность Ваших рассуждений и действий по разрешению производственно – технической ситуации.

1. Составили дифференциальное уравнение теплового баланса жилого дома:

,

где С – теплоемкость дома, ;

– превышение температуры дома над температурой наружного

воздуха,;

Л – теплоотдача дома, ;

Р – мощность источника тепла, Дж;

– энергия, расходуемая на нагрев дома, Дж;

– энергия, отдаваемая наружному воздуху, Дж;

– энергия, поступающая в дом, Дж.

2. Нашли закон изменения превышения температуры дома над наружного воздуха, решив дифференциальное уравнение теплового баланса дома:

Преобразовали уравнение:

Ввели условные обозначения:

,

Назвали Т постоянной времени нагрева, единицей является секунда.

,

Назвали установившимся превышением температуры дома над температурой наружного воздуха, единицей является градус Цельсия.

Переписали уравнение с учетом введенных обозначений:

Решили полученное дифференциальное уравнение, для чего составили характеристическое уравнение:

,

откуда нашли корень:

Превышение температуры дома над температурой наружного воздуха будет содержать свободную и принужденную составляющие, то есть

Свободная составляющая определяется корнем характеристического уравнения и запишется следующим образом:

,

где А – постоянная интегрирования.

Принужденная составляющая равна установившемуся значению превышения температуры, то есть

Тогда общее решение дифференциального уравнения записали следующим образом

Нашли постоянную интегрирования из начальных условий:

при .

Тогда ,

откуда

Подставили значение постоянной интегрирования в общее решение дифференциального уравнения и получили искомый закон изменения превышения температуры дома:

Записали выражение для допустимой температуры дома:

где - допустимая температура в доме, °С;

- допустимое превышение температуры в доме над температу- рой наружного воздуха, °С;

- температура наружного воздуха, °С.

Допустимое превышение температуры в доме над температурой наружного воздуха

Принимаем при охлаждении дома установившееся превышение температуры в доме над температурой наружного воздуха равным нулю. Тогда уравнение охлаждения дома запишется следующим образом:

Находим допустимое время охлаждения дома, задавшись допустимым (расчётным) превышением температуры в доме над температурой наружного воздуха

,

и временем равным искомому допустимому значению, то есть

:

,

откуда

.