3.5.2. Отклонение точки от прямой.

Расстояние от точки до прямой.

Пусть - расстояние от точки до прямой .

Определение. Отклонением точки от прямой называется число , если точка и начало координат лежат по разные стороны от прямой, и число ,

Рис. 3.27 если точка и начало координат

лежат по одну сторону от прямой.

Очевидно, , откуда и (рис.3.27). Из последнего равенства имеем .

Итак, чтобы найти отклонение точки от прямой необходимо в нормированное уравнение прямой подставить координаты данной точки.

Расстояние от точки до прямой равно модулю отклонения, т.е.

.

Итак, чтобы найти расстояние от точки до прямой необходимо в нормированное уравнение прямой подставить координаты данной точки и полученное выражение взять по модулю.

Если имеем общее уравнение прямой, то расстояние от точки до прямой вычисляется по формуле .

3.5.3. Пучок прямых.

Определение. Совокупность всех прямых, проходящих через одну и ту точку , называется пучком прямых с центром в точке .

Пусть точка есть точка пересечения двух не параллельных прямых и .

Очевидно, что при прямая

(3.14)

проходит через точку , т. е уравнение (3.14) есть уравнение пучка прямых с центром в точке .

Примеры решения задач.

● Пример 28. Через точку пересечения прямых и провести прямую,

1) проходящую через начало координат;

2) проходящую через точку ;

3) параллельную оси ;

4) параллельную оси ;

5) параллельную прямой ;

6) перпендикулярную прямой ;

7) отсекающую на осях координат равные отрезки.

Анализ задачи Уравнение пучка прямых, проходящих через точку пересечения прямых и имеет вид - или

. (3.15)

Вектор - нормальный вектор этого пучка прямых.

Из системы имеем , , т.е. точка - точка пересечения данных прямых.

● Пример 28. Через точку пересечения прямых и провести прямую,

1) проходящую через начало координат;

1) Первый способ. Так как искомая прямая принадлежит пучку прямых и проходит через начало координат, то из . (3.15)

следует . Выбрав , получим . Искомое уравнение имеет вид или .

Второй способ. Так как искомая прямая проходит через начало координат, то уравнение этой прямой имеет вид . Точка принадлежит этой прямой, поэтому , откуда при , и - уравнение искомой прямой.

● Пример 28. Через точку пересечения прямых и провести прямую,

2) проходящую через точку ;

2) Первый способ. Точка принадлежит пучку прямых, поэтому из . (3.15)

имеем , откуда , , и - уравнение искомой прямой.

Второй способ. Искомая прямая проходит через точки и , поэтому её уравнение или .

● Пример 28. Через точку пересечения прямых и провести прямую,

3) параллельную оси ;

3) Первый способ. Если прямая параллельна оси , то общее уравнение этой прямой не содержит переменной , т.е. в уравнении

. (3.15)

. Откуда при и уравнение искомой прямой или .

Второй способ. Так как искомая прямая параллельна оси , то её общее уравнение не содержит переменной и имеет вид . Точка принадлежит этой прямой, поэтому , откуда при , и - уравнение искомой прямой.

● Пример 28. Через точку пересечения прямых и провести прямую,

4) параллельную оси ;

4) Первый способ.

. (3.15)

Если прямая параллельна оси , то . Полагая получим . Уравнение искомой прямой имеет вид или .

Второй способ. Так как искомая прямая параллельна оси , то вектор является направляющим вектором этой прямой. Искомая прямая проходит через точку .

или - уравнение искомой прямой.

● Пример 28. Через точку пересечения прямых и провести прямую,

5) параллельную прямой ;

5) Первый способ.

. (3.15)

- нормальный вектор данной прямой. Так как прямые параллельны, то и , откуда при и - уравнение искомой прямой.

Второй способ. Искомая прямая параллельна прямой , поэтому вектор является нормальным вектором обеих прямых. Искомая прямая проходит через точку . Учитывая предыдущее, имеем или .

● Пример 28. Через точку пересечения прямых и провести прямую,

6) перпендикулярную прямой ;

6) Первый способ.

. (3.15)

- нормальный вектор данной прямой. Так как прямые перпендикулярны, то и скалярное произведение нормальных векторов этих прямых равно нулю, т.е. , откуда при и уравнение искомой прямой .

Второй способ. Нормальный вектор данной прямой является в этом случае направляющим вектором искомой. Учитывая, что прямая проходит через точку , имеем или - уравнение искомой прямой.

● Пример 28. Через точку пересечения прямых и провести прямую,

7) отсекающую на осях координат равные отрезки.

7) Первый способ.

. (3.15)

Так как прямая отсекает от координатных осей отрезки одинаковой длины, то .

Если ,то , а может быть выбрано произвольно. В частности, при и искомое уравнение прямой .

При имеем откуда при , и - уравнение искомой прямой.

Второй способ. Так как прямая отсекает на осях координат равные отрезки, то уравнение прямой в «отрезках» имеет вид . Координаты точки удовлетворяют уравнению , поэтому , откуда и - уравнение одной из искомых плоскостей.

Координаты точки удовлетворяют уравнению , поэтому , откуда и - уравнение плоскости, отсекающая на осях координат равные «отрезки».

Ответ: 1) ; 2) ;3) ;

4) ; 5) ; 6) :

7) , .

● Пример 29. Провести прямые, параллельные прямой , и отстоящие от неё на расстоянии двух единиц.

Решение. Приведём уравнение прямой к нормированному виду. Нормальный вектор данной прямой , и свободный член положителен, поэтому нормирующий множитель равен -.Тогда - нормированное уравнение прямой. Так как отклонение искомых прямых от данной равно , то , откуда и - искомые уравнения.

Ответ: , .

● Пример 30. Сторона треугольника (рис.3.28) лежит на прямой Через вершину проведены биссектриса и высота. Составить уравнения остальных сторон этого треугольника, если - уравнение Рис. 3.28 биссектрисы, а точка - основание высоты.

Решение. Обозначим через точку пересечения прямой и данной биссектрисы. Точка есть общая точка прямых и , поэтому её координаты удовлетворяют системе и .

Вектор перпендикулярен прямой , поэтому в качестве нормального вектора этой прямой может быть выбран вектор .

. Точка принадлежит этой прямой, поэтому и .

На прямой выберем произвольную точку , отличную от , например, . Пусть точка проекция точки на биссектрису. Тогда вектор параллелен нормальному вектору биссектрисы , откуда и . Найдем точку , симметричную точке относительно биссектрисы.

, . Сторона принадлежит пучку с центром в точке . Точка принадлежит прямой , поэтому , . Полагая , имеем и - уравнение стороны .

Ответ: ,.