3.5. Прямая на плоскости.

3.5.1. Различные формы задания прямой на плоскости.

Уравнение прямой на плоскости может быть задано:

1) с помощью углового коэффициента и «отрезка», отсекаемого от координатной оси ;

2) точкой, лежащей на прямой, и вектором, параллельным прямой (направляющим вектором);

3) двумя точками;

4) точкой прямой и вектором, перпендикулярным прямой (нормальным вектором);

5) в «отрезках»;

6) ортом нормального вектора и расстоянием от начала координат до прямой.

1) Как известно, - уравнение прямой, которая проходит через точку и составляет с положительным направлением оси угол, тангенс которого равен . Если указанная прямая проходит через точку , то и вычитая полученное тождество из уравнения прямой, имеем . Это уравнение прямой, проходящей через точку , с угловым коэффициентом .

Если прямые , параллельны, то их угловые коэффициенты совпадают.

Если прямые , перпендикулярны, то .

2) Пусть - направляющий вектор прямой, проходящей через точку . Для любой точки , лежащей на этой прямой, вектор ||, поэтому

Определение. Уравнение называется векторным уравнением прямой на плоскости (сравните с векторным уравнением прямой в пространстве).

- параметрические уравнения и

- каноническое уравнение прямой, проходящей через точку , с направляющим вектором , векторное уравнение которой .

3) Если прямая задана двумя точками и этой прямой, то является направляющим вектором и - уравнение прямой, проходящей через точки и .

4) Пусть - нормальный вектор прямой, проходящей через точку .

Для любой точки , лежащей на этой прямой, вектор поэтому

Определение. Уравнение

называется векторным уравнением прямой, заданной точкой и нормальным вектором прямой (сравните с векторным уравнением плоскости в пространстве).

Уравнение в координатной форме имеет вид

.

Если , то имеем уравнение .

Определение. Уравнение называется общим уравнением прямой на плоскости.

5) Определение. - уравнение прямой в «отрезках». Очевидно, прямая проходит через точки и .

6) Прямая может быть задана ортом нормального вектора , направленного из начала координат в сторону прямой, и расстоянием от начала координат до этой прямой.

Пусть - орт нормального вектора прямой, а - расстояние от начала координат до

Рис.3.26 прямой (рис.3.26).

Из начала координат опустим перпендикуляр на прямую. Точку пересечения перпендикуляра и прямой обозначим . Для любой точки прямой проекция вектора на направление вектора равна , т.е. , откуда и .

Определение. Уравнение называется нормированным уравнением прямой.

Общее уравнение прямой можно привести к нормированному виду .

Определение. Число называется нормирующим множителем.

Умножив общее уравнение прямой на нормирующий множитель, взятый со знаком плюс, если , и со знаком минус, если , получим нормированное уравнение прямой.

Замечание. Так как есть длина нормального вектора общего уравнения прямой, то нормирующий множитель равен , если , и , если .