Упражнение. Выполните приведенный алгоритм для деревьв

а) b)

1 7 1 7

8 2 3 2 8 3

5 5

6 6

4 4

Заметим, что в приведенном алгоритме, построенный им код определен однозначно.

Рассмотрим алгоритм восстановления дерево по его коду Прюфера i₁,…,i_n-2. Для этого

1. Восстановим заключительное звено дерева. Как было отмечено, им является ребра либо (i_n-2,n), в случае i_n-2n, либо ребро – (n,n-1), в случае i_n-2=n.

2. Для восстановления других ребер дерева выполним следующее

   1. Пусть j=n-2.

   2. Повторим n-2 раза

Если вершина i_j-1 (исключая j=1) еще не включена в дерево, то строим в нем ребро (i_j,i_j-1); в противном случае строим ребро (i_j,m), где m наибольший номер вершины еще не включенной в дерево.

Упражнение. Восстановите деревья по кодам Прюфера, полученным в предыдущем упражнении.

Замечание. Пусть задана произвольная последовательность натуральных чисел i₁,…,i_n-2, каждое из которых из промежутка 1..n. Тогда, по приведенному алгоритму, для этой последовательности может быть построено помеченное дерево, при этом двум разным последовательностям соответствуют два разных дерева.

Таким образом, теорема Кэли следует из установленной биекции.

Рассмотрим теперь задачу построения приведенных алгоритмов на языке Паскаль. Вначале разберем задачу построения кода Прюфера по заданному дереву. Будем считать, что дерево представлено в виде таблицы смежности, а его код Прюфера мы получаем в целочисленном массиве из n-2 элементов, где n – число вершин помеченного дерева.

Замечание. При решении многих задач, связанных с деревьями, выбранное для них представление не является наиболее удобным. В дальнейшем будут рассмотрены другие представления деревьев. В виде списка смежности, вообще говоря, может быть представлен граф самого общего вида, однако при решении данной задачи мы будем исходить из того, представленный в списке смежности граф действительно является деревом. Алгоритм проверки этого свойства представленного графа будет также рассмотрен ниже.

Для решения поставленной задачи мы будем исходить из того, что нам задан следующий глобальный контекст:

program pruff;

const n=7;

type v=^t;

t=record i:1..n; r:v end;

pru=array[0..n-2] of integer; {нулевой элемент – “корень”, равный n}

var k,i,j,a:integer; {n-1 – для основной программы }

sp:array[1..n] of v;

x,y : v;

Тогда процедура построения кода Прюфера выглядит так:

procedure inpruff(var pr:pru); {строит код Прюфера по списку смежности}

var rab:boolean;

begin

for j:=1 to n-2 do

begin k:=1;