86

Костин В.А. Анализ алгоритмов. – Лекции 2000

Санкт-Петербургский государственный

университет

Математико-механический факультет

В. А. Костин

Анализ алгоритмов (Лекции 2000)

Санкт-Петербург

2000

Как найти эффективный алгоритм для решения задачи? Как сравнить найденный алгоритм с другими, решающими ту же задачу? Как оценить его качество? Предлагаемый курс предназначен для знакомства с необходимым математическим аппаратом, используемым для этой цели.

Мы не будем рассматривать задачу доказательства правильности алгоритма. Эта другая область. Считаем, что все рассматриваемые алгоритмы при их анализе удовлетворяют критериям правильности.

Будем считать, что у поставленной задачи выделено представление исходных данных и результатов решения. Выбор представлений естественно накладывает ограничения на возможные алгоритмы решения задачи. Однако такой подход позволяет ввести необходимые критерии для оценки алгоритмов. Более того, будем считать, что с каждой конкретной задачей связан некоторый набор целочисленных параметров, характеризующих размерность исходных данных. Например, такими параметрами для задачи умножения двух натуральных чисел является разрядность представления сомножителей, а для задачи перемножения матриц число строк и столбцов исходных матриц, учитывая, конечно, необходимое равенство для корректности определения умножения матриц. Для задачи нахождения кратчайшего пути между вершинами связного графа параметром может быть число вершин в графе и т. п.

Время, затрачиваемое алгоритмом как функция от размерности исходных данных, называется временной сложностью этого алгоритма. Поведение этой сложности в пределе при увеличении значений исходных параметров называется асимптотической временной сложностью.

Аналогично определяются понятия емкостной сложности и асимптотической емкостной сложности как функций определяющих объем ресурсов памяти необходимый для решения задачи по предложенному алгоритму. Обычно асимптотическая сложность

Заметим, что именно асимптотическая сложность определяет в итоге размерность задачи, которые можно решить этим алгоритмом.

Пример

Алгоритм	Временная сложность, как функция от параметра n (в мсек)	Максимальное значение параметра n задачи, решаемой за
		1 сек	1 мин	1 час
A1	n	1000	6104	3,6106
A2	n log2n	140	4893	2,0105
A3	n2	31	244	1897
A4	n3	10	39	153
A5	2n	9	15	21
A6	n!	6

Заметим, что асимптотическая сложность алгоритма характеризует и при изменении характеристик вычислительной установки. Пример, предположим, что достигнуто десятикратное ускорение скорости ЭВМ. Эффект этого ускорения может быть представлен как

Алгоритм	Временная сложность	Максимальное значение до ускорения	Максимальное значение после ускорения
A1	n	S1	10S1
A2	n log2n	S2	10S2 для больших n
A3	n2	S3	3,16S3
A4	n3	S4	2,15S4
A5	2n	S5	S5+3,3
A6	n!	S6	S6