7. Визначення кутового пришвидшення шківа за загальним рівнянням динаміки
Загальне рівняння динаміки для механічної системи з двосторонніми ідеальними в’язями має вигляд
,
(7.1)
де
– задані сили, які діють на систему;
– сили інерції, умовно прикладені до
точок системи;
– можливі переміщення точок системи.
Сили тертя віднесемо до числа активних сил.
Для розв’язання задачі даним методом необхідно знайти суму робіт всіх заданих сил і сил інерції точок системи на її можливому переміщенні. В’язі, накладені на систему є ідеальними, нитки рахуються натягнутими при роботі механізму.
7.1. Розглянемо систему в цілому (рис. 7.1).
Прикладемо до системи всі активні сили
і моменти
та
.
δφ2
R02
M2ін
ε2
M02
δS1
R03 1
N1
δφ3
G2 2
𝑎1
M03 ε3 α1
Ф1ін
M3ін
Ф4ін
δS4 G1 Fтр1
Fтр 4 N4
3
G3
α
𝑎4
G4
Рисунок 7 - Схема для розрахунку прискорення вантажу за рівнянням динаміки
7.1.1. Сили інерції, які зумовлені прискореним поступальним рухом тіл 1 і 4 визначаються формулами:
;
(7.2)
;
(7.3)
7.1.2. Сили інерції шківів 2 і
3, які обертаються навколо нерухомих
осей з прискореннями
і
приводяться до інерційних пар, моменти
яких відповідно рівні
;
(7.4)
.
(7.5)
Інерційні момент
і
напрямлені в сторону протилежну напряму
кутових прискорень
і
.
7.2. Надамо системі можливе
переміщення. При цьому вантаж 1
переміститься по похилій площині на
віддаль
,
вантаж 4 переміститься по похилій площині
на віддаль
а ланки 3 і 2 повернуться відповідно на
кути
.
Ці переміщення показані на рис. 7.1.
Знайдемо тепер суму робіт всіх заданих сил і сил інерції на даному переміщенні системи і прирівняємо її до нуля, тобто складемо загальне рівняння динаміки
(7.6)
де згідно з співвідношень (3.2) і (3.3)
(7.7)
7.3. Підставимо (7.7) в (7.6) і
визначимо
.
(7.8)
що співпадає з попереднім виразом.
Момент інерції шківа 2, маса якого рівнорозподілена вздовж його ободу, рівний
(кгм2),
де
– радіус обода шківа.
Момент інерції шківа 3, радіус
інерції якого рівний
м
(кгм2).
8. Визначення кутового пришвидшення шківа за рівнянням Лагранжа іі роду
Рівняння Лагранжа ІІ роду має вид:
(8.1)
де
– кінетична енергія системи;
– узагальнена координата;
– узагальнена сила;
– узагальнена швидкість;
– число ступеней вільності системи
(число узагальнених координат).
Примітка:
1. Число рівнянь Лагранжа рівне числу незалежних узагальнених координат даної системи.
2. Невідомі реакції ідеальних в’язей, накладених на систему, в ці рівняння не входять.
3. Кінетична енергія механічної системи визначається, як функція узагальнених координат, узагальнених швидкостей і часу.
4. Кожній узагальненій координаті відповідає своя узагальнена сила, яка визначається за формулою
.
(8.2)
Розглянемо задану механічну систему (рис. 8.1).
δφ2
R02
ω2
M02
δS1
R03 1
N1
δφ3
G2 2
V1
M03 ω3 α1
δS4 G1 Fтр1
Fтр 4 N4
3
G3
α V4
G4
Рисунок 8 - Схема для розрахунку прискорення вантажу за рівнянням Лагранжа II роду
Ця система має одну ступінь
вільності, а тому її положення може бути
визначено однією узагальненою координатою.
За узагальнену координату приймемо
переміщення
ланки 3, тоді узагальнена кутова швидкість
буде рівна
.
На основі (8.1) складаємо рівняння Лагранжа
.
(8.3)
8.1. Кінетичну енергію системи
визначимо як функцію узагальненої
швидкості
.
Скористаємося виразом (6.8)
;
(8.4)
8.2. Прикладемо до системи
всі задані сили
і
моменти
.
Для обчислення узагальненої сили
,
яка відповідає узагальненій координаті
,
надамо цій координаті приріст і складемо
суму елементарних робіт всіх заданих
сил на отриманому переміщенні системи:
(8.5)
На основі співвідношень (3.3)
(8.6)
(8.5) прийме вигляд
(8.7)
Узагальнена сила
на основі (8.2) рівна
(8.8)
8.3. Отримані значення підставляємо в (8.3). Для цього попередньо знайдемо відповідні похідні:
(8.9)
8.4. Підставляючи (8.8) і (8.9) в рівняння (8.3) і виконуючи певні перетворення, отримаємо
(8.10)
що співпадає з попереднім виразом.
Момент інерції шківа 2, маса якого рівнорозподілена вздовж його ободу, рівний
(кгм2),
де
– радіус обода шківа.
Момент інерції шківа 3, радіус
інерції якого рівний
м
(кгм2).
