3. Кінематичний розрахунок

Виразимо швидкості всіх ланок механізму через швидкість ланки, пришвидшення якої визначається. В задачі визначається кутове пришвидшення шківа 3, то виразимо швидкості всіх ланок механізму через його кутову швидкість – .

Згідно рис. 2.2.

(3.1)

Диференціюючи рівняння (3.1) по часу, знайдемо залежності між відповідними пришвидшеннями

(3.2)

Інтегруючи рівняння (3.1) за часом, знайдемо залежності між відповідними переміщеннями

(3.3)

4. Визначення кутового пришвидшення шківа методом складання диференціальних рівнянь руху кожної ланки механізму

Система (рис. 4.1) складається з чотирьох тіл: вантажів 1 і 4, двох шківів 2 і 3. Вантажі здійснюють поступальні рухи,а шківи здійснюють обертальні рухи.

R₀₂

М₀₂ ω₂

О₂

Т_2-1 1 N₁

R₀₃ z Т_2-3 G₂ 2 Т_1-2 V₁

М₀₃ Т_3-2 α₁

О₃ F_тр1

3 Т_3-4 G₁

z G₃ ω₃ Т_4-3 N

F_тр 4

α V₄

G₄

Рисунок 4 – Схема для розрахунку прискорення вантажу методом складання диференціального рівняння кожної ланки механізму

Складаємо диференціальні рівняння руху цих тіл.

4.1. Диференціальне рівняння поступального руху твердого тіла по осі абсцис має вигляд

, (4.1)

де – маса тіла; – проекція вектора пришвидшення тіла на вісь абсцис; – сума проекцій сил, діючих на тіло, на вісь . На тіло 1 діють сили і .

Рівняння (4.1) для рухомого тіла 1 прийме вид

. (4.2)

4.2. Диференційне рівняння для обертального руху твердого тіла навколо нерухомої осі має вигляд

, (4.3)

де – момент інерції тіла відносно осі обертання; – кутове пришвидшення тіла; – сума моментів всіх сил відносно осі обертання.

Розглянемо шків 2.

На нього діють сили і момент сил опору .

Згідно (4.3)

До шківа 3 прикладені сили .

На основі (4.3) отримаємо

. (4.5)

На тіло 4 діють сили і .

Рівняння (4.1) для рухомого тіла 4 прийме вид

. (4.6)

4.3. Таким чином, система диференціальних рівнянь руху ланок механізму така:

(4.7)

де згідно зі співвідношенням (3.2)

(4.8)

Відмітимо, що

a

Розв’язуючи систему рівнянь (4.7) і враховуючи (4.8) отримаємо;

(4.9)

Поділивши обидві частини рівняння на і виразивши ε₃, одержимо: Момент інерції шківа 2, маса якого рівнорозподілена вздовж його ободу, рівний

(кгм²),

де – радіус обода шківа.

Момент інерції шківа 3, радіус інерції якого рівний м

(кгм²).

5. Визначення кутового пришвидшення шківа за теоремою про зміну моменту кількості руху механічної системи

Зміна кінетичного моменту системи відносно осі виражається рівнянням

, (5.1)

де – кінетичний момент системи відносно осі; – головний момент всіх зовнішніх сил, які діють на систему відносно тієї ж осі.

Для розв'язання задачі даним методом необхідно:

5.1. Знайти кінетичний момент системи відносно осей обертання, як суму моментів кількості руху тіл, які входять в цю систему відносно даної осі.

5.2. Прикласти всі зовнішні сили, діючі на систему.

5.3. Знайти суму моментів всіх зовнішніх сил відносно осі обертання, яка розглядається.

5.4. Отримані результати підставити в рівняння (5.1) і розв’язати це рівняння.

Перейдемо до розв’язку задачі.

5.1. Спочатку розглянемо систему тіл (вантаж 1 і шків 2, рис. 5.1) які рухаються відносно осі . Кінетичний момент цієї системи відносно осі знайдемо як суму моментів кількості руху вантажу 1 і шківа 2

. (5.2)

R₀₂

M₀₂ ω₂

Т_2-3 1 N₁

χ G₂ 2 V₁

α₁ F_тр1

G₁

Рисунок 5.1 - Схема для розрахунку прискорення вантажу за теоремою про зміну моменту кількості руху механічної системи

Момент кількості руху вантажу 1 відносно осі

, (5.3)

де – швидкість вантажу 1.

Момент кількості руху ланки 2 відносно осі

, (5.4)

де – момент інерції ланки 2 відносно осі ; – кутова швидкість ланки 2.

Враховуючи (5.3) і (5.4) вираз (5.2) приймає вигляд

. (5.5)

Прикладемо всі зовнішні силові фактори, діючі на цю систему (рис. 5.1).

Це будуть

– сили ваги ланок;

– сили тертя вантажу 1 з похилою площиною;

– нормальна реакція похилої площини;

– реакція підшипника ланки 2;

– сила натягу нитки, яка з’єднує шків 2 і коток 1;

– момент опору.

Знаходимо суму моментів всіх цих сил відносно осі .

Отримаємо

. (5.6)

Примітка.

Моменту приписуємо знак “+”, якщо він напрямлений в сторону обертання ланки 2, і знак “-”, якщо він напрямлений в протилежну сторону.

Підставляючи (5.6) і (5.5) в рівняння (5.1), попередньо врахувавши співвідношення (3.1)

(5.7)

отримаємо

; (5.8)

Звідки

; (5.9)