Задание с2

Две однородные прямоугольные плиты, сваренные под прямым углом друг к другу, закреплены с помощью связей в точках А, В, О. Размеры плит в направлениях, параллельных координатным осям х, у, z равны соответственно или , и . В меньшей из плит сделан вырез в виде в виде прямоугольного равнобедренного треугольника с гипотенузой равной . Середина гипотенузы, которая совпадает со стороной плиты, находится в точке H. Вес большей плиты равен G₁ = 5 кН, вес меньшей плиты (без выреза) -

2 КН. Каждая из плит расположена параллельно одной из координатных плоскостей (плоскость ху горизонтальная).

На плиты действуют пара сил с моментом М = 5 кНм, и две силы и  при этом сила лежит в плоскости хАу, сила лежит в плоскости, параллельной плоскости уАz. Точки приложения сил находятся в серединах сторон плит.

Найти координаты центра тяжести конструкции и определить реакции связей в точках А, В, О. При расчетах принять = 0,5 м, F₁= 20 кН, α₁ = 135⁰, F₃ = 30 кН, α₃ = 30⁰. Толщиной плит пренебречь.

Решение

Определим координаты центра тяжести конструкции, для этого изобразим на малой плите вырез.

Центр тяжести большей плиты находится на пересечении диагоналей, его координаты равны

= , = , .

Для определения центра тяжести меньшей плиты воспользуемся методом отрицательных площадей, в этом случае вырез в виде треугольника будем считать отрицательной массой. Центр тяжести меньшей плиты без выреза находится на пересечении диагоналей, его координаты равны

= , = , .

Центр тяжести выреза в виде треугольника находится на пересечении медиан, его координаты равны

= , = , .

Используя формулы координат центра тяжести тела по методу отрицательных площадей, найдем требуемые координаты центра тяжести всей конструкции

, =

,

,

где S₁, S₂, S₃ – площади соответственно большей и меньшей плит, и выреза в виде треугольника.

Подставляя в формулы заданное значение = 0,5 м, получим координаты центра тяжести всей конструкции

= 0,657 м, = 0,769 м, = 0,0785 м.

Для нахождения реакций связей покажем, кроме заданных сил и момента сил M, силу тяжести конструкции G (координаты точки приложения силы мы только что нашли) и реакции связей в точках А, В, О.

Величина силы тяжести конструкции равна , где G₃ – сила тяжести вырезанного треугольника

G₃ = = = 0,167 кН,

тогда

G = 5 + 2 – 0,167 = 6,83 кН.

Для полученной на рисунке произвольной пространственной системы сил запишем условия и составим уравнения равновесия конструкции. При составлении уравнений моментов сил используем теорему Вариньона, для чего силы и разложим на составляющие и ,

где ,

.

∑F_ix = 0 X_А + Х_В + F₁cos = 0; (1)

∑F_iy = 0 Y_A + F₁sin –F₃cos = 0; (2)

∑F_iz = 0 ; (3)

∑M_хi = 0 ; (4)

∑M_уi = 0 ; (5)

∑M_zi = 0 . (6)

Из уравнения (6) найдем (-,

из уравнения (5) найдем ,

из уравнения (4) найдем .

Зная реакции , , не представляет труда из уравнений (1), (2), (3) найти выражения для остальных неизвестных реакций

X_А = - Х_В - F₁cos ,

Y_A = - F₁sin + F₃cos,

.

Произведем вычисления реакций

(- = 0,76 кН,

= 3,01 кН,

= 3,18 кН,

X_А = - 0,76 + 10·cos135⁰ = – 7,83 кН,

Y_A = - 10sin 135⁰ + 15 cos 30⁰ = 5,92 кН,

= – 0,84 кН.

6