1. Множество действительных чисел. Основные структуры множества r.

Действительные числа - это числа, сплошь заполняющие числовую прямую (непрерывность), выполняет все операции (+-\*) и является плотным, т.к. содержит в себе Q, изображаются точками на прямой.

структура:

Неплотным называется множество, если оно содержит элементы, между которыми нет ни одного другого элемента данного множества.

1. натуральные числа N. возникли в процессе счета предметов (+*) (-/ не всегда)неплотно, не является непрерывным.

2.целые числа Z. исторически появилось в связи с понятием дома, объединение целых отрицательных, натуральных и нуля привело к появлению целых чисел. (+-*) (\ не всегда), неплотное и не непрерывное.

3.рациональные числа Q. –множество несократимых дробей, дроби могут являться различным изображением одного рационального числа. (+-*\) (\ на 0 нельзя), плотно (между двумя числами находится еще число (доказывается полу суммой)), не является непрерывным т.к. меж рациональными числами есть иррациональные ()

Под множеством понимают совокупность некоторых объектов, объединенных по какому-либо признаку.

R—множество действительных чисел. Множество R содержит рациональные и иррациональные числа. Всякое рациональное число выражается или конечной десятичной дробью или бесконечной периодической дробью. Так, 1/2= 0,5 (= 0,500...), 1/3=0,333... — рациональные числа.(Выполняются действия + : - ×) . Оно является плотным т.к. содержит в себе плотное множество.Множ. непрерывно;геометрич.это знач.-что действительные числасплош заполняют числовую прямую,на ней нет промежутков не заполненных действ. Числ.

Основные виды структур -Множество – конечная совокупность элементов.

2) для каждого элемента, кроме первого и последнего, имеются предыдущий и последующий элементы).

3)Матрица – структура, у которой множество R состоит из двух отношений линейного порядка.

4) Дерево – множество R состоит из одного отношения иерархического порядка.

5)Граф – множество R состоит из одного отношения бинарного порядка.

6)Гиперграф – множество R состоит из двух и более отношений различного порядка.

2.Непрерывность множества r, аксиома Архимеда и теорема Кантора

С геометрической точки зрения свойство непрерывности означает, что R сплошь заполняют числовую прямую.

Аксиома Архимеда: (геометрически)- если на прямой даны 2 отрезка ОА и АВ, то отрезок ОА можно повторить столько раз, чтобы сумма была больше ОВ. (алгебраически)- если А положительное число, В - любое число, то всегда найдется такое натуральное число n, что n·A>B

Теорема Кантора:

1.(аксиома Кантора)-последовательность отрезков называется стягивающейся последовательностью вложенных отрезков, если каждый последующий содержится в своем предыдущем и длины отрезков стремятся к нулю при n стремящейся к бесконечности. Всякая стягивающая последовательность вложенных отрезков имеет общую всем точку.

2.(теорема)-фактически стягивание означает что во множестве R определена новая операция, предельный переход. Следовательно, не может быть 2 разных точек принадлежащих всем сегментам последовательности.

N={1; 2; 3; . n .}- множество натуральных чисел;

Zo={0; 1; 2; .. n...}- множество целых неотрицательных чисел;

Z={0; ±1; ±2; .. ±n..}- множество целых чисел;

Q={m/n…..}-множество рациональных чисел.

R—множество действительных чисел.

.Множ. непрерывно;геометрич.это знач.-что действительные числа сплош заполняют числовую прямую,на ней нет промежутков не заполненных действ. Числ. Аксиома Архимеда:Если имеется две величины a и b, то взяв a слагаемым достаточное количество раз, можно превзойти b:Геометрич: если даны два отрезка, то отложив достаточное количество раз меньший из них, можно покрыть больший.Теор.Кантора:послндовательность отрезков(a;b )(f;t)…наз. Стягивающейся последовательностью вложенных отрезков если каждый последующий содержит в своём пред. И длины отрезков стремятся к 0 при n стремящемся к ∞

an-bn→0 при n→∞

Аксиома- всякая стягив.последов. вложенных отрезков имеет хотябы одну общую всем точку.

Теор.-всякая стягив. последов. Вложенных отрезков имеет единственную общую всем им точку. Док-во по аксиоме от противного.