Розв’язання

Розглядаючи рух системи твердих тіл, що складається з трьох тягарів М, М1 і М2 нехтуватиме, згідно з умовами задачі, чи силами тертя і вважатимемо в’язі (блоки, шнур) ідеальними.

Дана система має два ступені вільності і положення її, отже, цілком визначається двома параметрами, наприклад координатами тягаря М1 – Z1 і центра блока С – Zc. Справді, внаслідок нерозтяжності шнура між координатами Z1, ZC і Z2 існує залежність, що являє собою рівняння в’язі,

Z1 + Z2 + 2ZC = const. (а)

Звідки можливі переміщення мають задовольнити умову,

δZ1 + δZ2 + 2δZC = 0. (в)

Диференціювавши двічі рівняння в’язів (а), матимемо залежність між їхніми проекціями на вісь OZ:

а1 + а2 + 2аС = 0. (с)

Приймаючи за додатний напрям прискорень аС , а1, а2 напрям осі OZ, можна загальне рівняння динаміки подати так:

(Р1 –) δZ1 + (Р2 –) δZ2 +( Р –) δZ = 0,

або підставити дані з умови задачі, одержуємо:

2(g-a1) δZ1 + 3(g-a2) δZ2 + 4(g-aC) δZC = 0.

Оскільки дана система має два ступені вільності, то можна, наприклад, зупинити вісь блока С і примусити рухатися тягарі М1 і М2 або зупинити тягар М, примусити переміщатися тягарі М і М2 .

Зупиняючи тягар М, дістанемо згідно з (а) таке можливе переміщення системи:

δZC = 0; δZ2 = -δZ1

Тоді рівняння (С) дає:

2(g – a1) δZ1 - 3 (g – a2) δZ1 =0.

Звідки:

2(g – a1) - 3 (g – a2) =0,

або

3а2 - 2a1 = g. (d)

Зупиняючи тягар М2, дістанемо аналогічно інше можливе переміщення системи:

δZ2 = 0; δZ1 = - 2 δZC .

На підставі рівності (с) у цьому випадку знайдемо:

4 (g – a1) – 4 (g - aC) = 0, або

aC = a1

Із співвідношень (в), (d), (е) виходить:

aC = a1 = - 0,89 м/с²; а2 = 2,675 м/с².

Знаки при прискореннях показують напрям руху тягаря М2, протилежний напряму руху тягарів М₁ і М₂.

Відповідь: aC = a1 = - 1/11 = - 0,89 м/с²; а2 = 3/11 = 2,675 м/с².

Література

1. Мещерский И.В. Сборник задач по теоретической механике. – М.: Наука, 1980. – 446 с.

2. Сборник заданий для курсовых работ по теоретической механике / Яблонский А.А., Норейко С.С., Вольфсон С.А. и др. / Под ред. А.А. Яблонского. – 4-е изд., перераб. и доп. – М.: Высш. шк., 1985. – 368 с.: ил.

3. Блінов Е.І. Основи теоретичної механіки. – Херсон: ХНТУ, 2004. – 466 с.: іл.

4. Сборник задач по теоретической механике / Брашниченко Н.А., Канн В.А., Минцберг В.Л. и др. – М.: Высш. школа, 1974. – 480 с.: ил.

5. Сборник задач по теоретической механике / Колесников К.С., Блюмин Г.Д., Дронг В.И. и др. / Под ред. Колесникова К.С. – 2-е изд., перераб. и доп. – М.: Наука, 1989. – 380 с.: ил.

6. Теоретическая механика: Методические указания и контрольные задания для студентов-заочников / Под ред. проф. Тарга С.М. – 4-е изд. – М.: Высшая школа, 1989. – 110 с.: ил.

49