Складний рух точки

а) Додавання швидкостей точки.

1. Пасажир, який їде в поїзді зі швидкістю 38,89 м/с, бачить протягом 6 с зустрічний поїзд, довжина якого l = 400 м. Визначити швидкість зустрічного поїзда.

Відп.: ν_r= 230 км/год.

2. Моторний човен перепливає річку шириною 480 м з відносною швидкістю 3,6 м/с, перпендикулярною до її берегів. Течія річки зносить човен, і він проходить шлях 500 м. Визначити швидкість течії річки V_е, вважаючи її сталою по всій ширині.

Відп.: V_е=1,05 м/с.

Рекомендації до розв’язання задач

1. Розкласти рух на складові, визначивши абсолютний, відносний і переносний рухи;

1. вибрати дві системи координат: нерухому і рухому;

2. подумки зупинивши переносний рух, знайти швидкість відносного руху точки;

2. подумки зупинивши відносний рух, знайти швидкість переносного руху точки;

3. застосувавши теорему додавання швидкостей, визначити шукану абсолютну швидкість точки.

Якщо абсолютна швидкість відома, то можна, користуючись теоремою додавання швидкостей, знайти векторно відносну або переносну швидкість точки.

Приклад 1

При переправі із точки А на інший берег у точку В (рис. 28, а) човняр установив кермо в напрямку АВ. Моторний човен рухався зі швидкістю V_r= 8км/год стосовно води. Швидкість плину річки V₀ = 2 км/год. Знайти швидкість руху човна стосовно берегів і величину зносу човна ВС, якщо переправа тривала 3 хв.

Дано:

V_r = 8 км/год

V_е = V₀ = 2 км/год

T = 3 хв.

ВС-?, V_а-?

Розв’язання

Рух човна стосовно берегів річки можна представити таким, що складається з руху за течією, разом з водою (такий рух мав би місце при виключеному моторі) і з руху стосовно води (при відсутності течії води).

Уведемо дві системи координат (рис. 28, б): нерухому хОу, пов'язану з берегами ріки, і рухому х₁О₁у₁, пов'язану із водою, що рухається зі швидкістю V₀ = 2 км/год. Тоді рух човна стосовно берегів разом з рухомими осями координат буде переносним. Траєкторія цього руху (Те) у розглянутий момент показана на рис. б. Рух човна стосовно рухомих осей координат (стосовно води) відносний. Його траєкторія Тr.

Рис. 28

При додаванні цих двох рухів виходить абсолютний рух — рух стосовно нерухливих осей координат. Траєкторія цього руху Т_а — пряма АС.

Для геометричного додавання швидкостей:

=+,

у цьому випадку користуються правилом паралелограма (рис. 28, в)

V_а === 8,25 м/с.

Знос човна визначається швидкістю переносного руху. Величина зносу

BC = V_еt == 100 м.

Відповідь: V_а = 8,25 м/с, BC = 100 м.

Приклад 2

Як приклад використання теореми про додавання швидкостей розв’яжемо наступну «морську» задачу.

Штурман, який знаходиться на мостку морського вантажного судна, що рухається у напрямку норд-ост із швидкістю 16 вузлів, визначив величину і напрямок відносної швидкості другого судна, яка дорівнює вузлів у напрямі вест. Визначити величину і напрямок абсолютної швидкості другого судна відносно Землі.

Примітка. Вузол – це одиниця швидкості, що дорівнює морській мілі за годину, а морська миля дорівнює 1852 м. Норд (N) – північ, зюйд (Z) – південь, ост (O) – схід, вест (W) – захід; 1 вузол = 0,514 м/с.

Рух судна будемо розглядати як складний. Його абсолютним рухом вважатимемо рух відносно Землі, а відносним будемо вважати його рух відносно першого (вантажного судна). За переносний рух другого судна приймаємо рух тієї точки рухомого простору, жорстко зв’язаного з вантажним (першим) судном, через яку у дану мить проходить друге судно. За умовою задачі відомо: відносна швидкість другого судна вузлів, яка напрямлена на норд-ост.

Згідно з теоремою про додавання швидкостей при складному русі точки:

. (а)

Нам не відома абсолютна швидкість другого судна . Задачу розв’язуємо графічно. Відкладемо від довільної точки О переносну швидкість у напрямку норд-ост (рис. 29), а з його кінця – вектор відносної швидкості у напрямі вест.

Рис. 29

Замикаюча сторона векторного трикутника, згідно з (а), є абсолютною швикістю другого судна, напрямку норд-вест. Модуль абсолютної швидкості визначається за теоремою синусів:

. (б)

Підставимо в (б) значення відповідних швидкостей і кутів. Одержимо абсолютну швидкість другого судна =16 вузлів. Отже = і тому у трикутнику швидкостей на рис. 1 кут α = π/2, тобто абсолютна швидкість другого судна має напрямок норд-вест.

Відповідь: =16 вузлів напрямку норд-вест.

б) Додавання прискорень точки.

3. Тіло А (рис. 30) спускається з відносним прискоренням 18 см/с² вздовж похилої грані призми, що рухається вправо за законом х = 6t² см (t – в с). Визначити абсолютне прискорення тіла А, якщо ВС =160 см, СD =120 см.

Відп.: а_а = 28,5 см/с².

4. Диск радіусом r рівномірно обертається у своїй площині з кутовою швидкістю ω навколо центра О. По обводу диска рухається точка М у напрямі його обертання із сталою швидкістю ν відносно диска. Визначити абсолютне прискорення точки М.

Відп.: w_a = (v + ωr²)/r.

Рис. 30 Рис. 31

5. Точка М рухається рівномірно зі швидкістю ν по колу радіуса r, розміщеному на прямокутній пластинці АВСD так, що центри кола і пластинки збігаються (рис. 31). Пластинка обертається навколо вертикальної сторони АВ із сталою кутовою швидкістю ω. Визначити абсолютне прискорення точки М у ті моменти, коли вона:

1) проходить через найнижче положення на колі;

2) максимально віддалена від осі обертання АВ.

Відп.: а₁ = ν²/r + 2ω²r; а₂ = ν²/r + 3ω²r.