Самостоятельная работа №2.

1. Проверить равносильность формул;

2. Составить таблицу истинности для формулы;

3. Решить задачу.

7. Основные законы логики

Существует 2 способа определения истинного значения формулы. Первый – с помощью таблиц истинности, а второй – с помощью приведения формулы к нормальной форме.

Формула имеет нормальную форму, если в ней отсутствуют знаки эквиваленции, импликации, исключающей дизъюнкции, двойного отрицания, при этом знаки отрицания находятся только при переменных.

Приведение формулы к нормальной форме основывается на применении основных формул алгебры логики.

1. Основные законы логики	А = А; А  А= 0; А +А = 1; = А = А – закон двойного отрицания.
2. Свойства констант	0 = 1; А+0=А; А+1=1	1 = 0; А0 = 0; А  1 = А
3. Закон идемпотентности (равносильности)	А + А = А	А  А = А
4. Законы коммутативности	А + В = В + А	А  В = В  А
5. Законы ассоциативности	(А + В) + С = А + (В + С)	А  (В  С) = (А  В)  С
6. Законы дистрибутивности	А+(В С) = (А+В)  (А+С)	А(В+С) = АВ + АС
7. Законы поглощения	А + АВ = А	А  (А + В) = А
8. Законы исключения (склеивания)	А  В + А В = В	(А + В)  (А + В ) = В

Доказать законы можно, упросив левую (правую) часть тождества.

Справедливы также равенства:

9. Законы де Моргана

А + В =А В; А  В =А +В; А +В = А  В; А  В = А + В.

Эти законы, а также равенства записанные ниже, можно доказать с помощью таблиц истинности, выписав все входящие в формулу подформулы.

При преобразовании логических выражений, содержащих операции строгой дизъюнкции, импликации и эквиваленции, удобно использовать равенства:

10. АВ =А + В

11. А В = АВ +АВ = (А + В)  (А +В)

12. А  В = АВ + А В

Пример. Доказать тождество:

( А + В + С )( А +В + С )(А +В +С )(А +В + С )(А +В +С ) =АВ +ВС

Р

1

3

2

4

асставим порядок действий в левой части тождества:

( А + В + С ) ( А +В + С ) (А +В +С ) ( А +В + С ) ( А +В +С )

Выполним действия, применяя логические законы:

1. ( ( А + С ) + В ) ( ( А + С ) +В ) = А + С (по закону исключения)

2. ( (А +В )+С ) ( (А +В ) +С ) = А +В (по закону исключения)

3. ( А + С ) ( ( А +В +С ) = (А + АВ + АС + АС) + ВС +СС = А + ВС

= А (з-н поглощения)

4. ( А + ВС ) (А +В ) = АВ + (АВС +ВС) = АВ +ВС (по закону поглощения)