Упражнения.

1. Проверьте равносильность следующих формул с помощью таблиц истинности:

1. А (А + В) = А

2. А + АВ = А

3. А  В = Ā + В

4. А  В = А В

5. А +В = А В

6. А + В = Ā В

2. Определите значение формулы: F= ((С+В)В)  (АВ) В.

6. Решение логических задач с помощью таблиц истинности.

Задача. По обвинению в ограблении перед судом предстали А, В, С. Следствием установлено:

1. Если А не виновен или В виновен, то С виновен;

2. Если А невиновен, то С виновен.

Виновен ли А?

Решение. Запишем на языке алгебры логики факты, установленные следствием:

1. (А+В)  С; 2) = А  С.

F = (А+В)  С & А С

Составим таблицу истинности:

А	В	С	А	С	А+В	(А+В)  С	А С	F
0	0	0	1	1	1	0	1	0
0	0	1	1	0	1	1	0	0
0	1	0	1	1	1	0	1	0
0	1	1	1	0	1	1	0	0
1	0	0	0	1	0	1	1	1
1	0	1	0	0	0	1	1	1
1	1	0	0	1	1	0	1	0
1	1	1	0	0	1	1	1	1

Проанализируем все строки, где F=1. Анализ таблицы показывает, что сложное высказывание истинно во всех случаях, когда А- истинно, т.е. А виновен в ограблении.

Вернемся к решению задачи 7 (дело Батончика, Ленчика и Пончика, с. 8).

Решение:

Обозначим буквами следующие утверждения:

Б – «Батончик утаил клад»;

Л – «Ленчик утаил клад»;

П – «Пончик утаил клад».

Тогда каждое из заявлений, состоящие из двух утверждений, можно представить так:

заявление Батончика - Б, П;

заявление Ленчика - П, Б;

заявление Пончика - П, Л.

Здесь правильный ответ можно получить, анализируя всего лишь три возможные версии на их соответствии каждому утверждению. Анализ версий оформлен в виде таблицы характера совпадений версий с заявлениями.

Версии	Высказывания из двух заявлений
	Батончика		Ленчика		Пончика
	Б	П	П	Б	П	Л
1. Батончик утаил клад – Б	0	0	1	1	1	1
2. Ленчик утаил клад – Л	1	0	1	1	1	0
3. Пончик утаил клад – П	1	1	0	0	0	1

Анализируя таблицу и учитывая условие задачи (один дважды солгал – 0 0, другой дважды сказал правду – 1 1, третий один раз солгал, один раз сказал правду – 0 1), делаем вывод: версия 3 соответствует условию задачи, значит, клад утаил Пончик.

Задача. В финал шахматного турнира вышли Аркадий, Володя, Саша. Болельщики высказали свои предположения:

1 болельщик: А. займет 1-ое место.

2 болельщик: С. не будет последним.

3 болельщик: В. не будет на 1-ом месте.

После игр оказалось, что двое болельщиков ошиблись, а один угадал. Как закончился финал?

Решение.

«Ключ» к решению задачи: 0 0 1

Запишем логические высказывания болельщиков: 1. А₁ 2.С₃ 3.В₁

Составим таблицу истинности, рассмотрев все возможные варианты исхода турнира:

Варианты исхода турнира			Предположения
А	В	С	А1	С3	В1
1	2	3	1	0	1
1	3	2	1	1	1
2	1	3	0	0	0
2	3	1	0	1	1
3	1	2	0	1	0
3	2	1	0	1	1

Проанализировав условие задачи и результаты таблицы, делаем вывод:

На 1 месте – В, на 2- ом – С, на 3-ем – А.

Задача. Петя, Вася и Маша остались дома одни. Кто-то из них съел варенье. На вопрос мамы, кто это сделал, они сказали:

А) Петя: «Я не ел. Маша тоже»

Б) Вася: «Маша действительно не ела. Это сделал Петя»

В) Маша: «Вася врет. Это он съел».

Выясните, кто съел варенье, если известно, что двое оба раза сказали правду, а третий один раз соврал, а один раз сказал правду.

Р

Ключ:

1 1 1 1 1 0

ешение.

П: П, М;

В: М, П;

М: М, П, В

	Высказывания
Версии	Петя		Вася		Маша
	П	М	М	П	М  П	В
Петя съел	0	1	1	1	0	0
Вася съел	1	1	1	0	1	1
Маша съела	1	0	0	0	1	0

1 1 =1 = 0

Анализ условия задачи и таблицы позволяют сделать вывод: «Вася съел варенье».