При защите лабораторной работы:

1. Объяснить полученные результаты.

2. Ответить на контрольные вопросы.

3. Решить задачи и упражнения.

Контрольные вопросы

1. Что такое статистическая гипотеза? Назовите виды гипотез.

2. Что такое ошибки первого и второго рода, уровень значимости?

3. Каким образом вычисляются теоретические частоты? Чем они отличаются от эмпирических частот?

4. В чём состоит критерий согласия Пирсона?

5. Дать определение доверительной вероятности, доверительного интервала.

6. Чем отличается вычисление доверительного интервала для выборки «малого» и «большого» объёмов?

7. Что происходит с длиной доверительного интервала при изменении объёма выборки? При изменении доверительной вероятности?

Задачи и упражнения

1. Случайная величина Х имеет нормальное распределение с известным средним квадратическим отклонением равным 3. Найти доверительный интервал для оценки неизвестного математического ожидания а по выборочной средней = 16, если объём выборки равен 12 и задана надёжность оценки = 0,99.

2. Количественный признак Х генеральной совокупности распределён нормально с известным средним квадратическим отклонением = 3. Найти доверительный интервал, покрывающий неизвестное математическое ожидание а по выборочной средней = 20, если объём выборки равен 50 и задана надёжность оценки = 0,999.

3. Количественный признак Х генеральной совокупности распределён нормально. По выборке объёма n = 25 найдено “исправленное” среднее квадратическое отклонение s = 0.75. Найти доверительный интервал, покрывающий генеральное среднее квадратическое отклонение с надёжностью = 0,95.

4. При уровне значимости 0.05 проверить гипотезу о нормальном распределении генеральной совокупности,

Эмпирические	5	13	12	44	8	12	6
Теоретические	2	20	12	35	15	10	6

если известны эмпирические частоты и теоретические.

Расчетная работа 3

Нахождение выборочных уравнений прямых линий

Регрессии

Цель работы

Овладеть методами:

а) установления связи между случайными величинами и при большом и малом числе наблюдений;

б) определения параметров выборочного уравнения прямой линии регрессии;

в) проверки гипотезы о значимости выборочного коэффициента корреляции.

Перед выполнением лабораторной работы № 3 необходимо изучить соответствующие разделы «Математической статистики», для этого может быть использована следующая литература:

[1 – гл. 18: § 1-3, 5-8; гл. 19: § 22].

[2 – гл. 9: § 1-3,5-7].

[3 – гл. 21: 21.5-21.7].

[4 – гл. 12: 12.1-12.3].

[5 – гл. IX: § 1-3].

Последовательность выполнения работы:

1. Составить таблицу для подсчета количества пар значений , попадающих в частичные интервалы.

2. Составить корреляционную таблицу по серединам частичных интервалов и найденному количеству пар .

3. Построить корреляционное поле. По характеру расположения точек на нем выбрать вид зависимости между случайными величинами и .

4. Вычислить выборочный корреляционный момент и выборочный коэффициент корреляции . По найденному значению сделать вывод о тесноте связи между и .

5. Найти выборочные уравнения регрессии на и на . Построить полученные прямые на корреляционном поле и найти точку пересечения прямых линий регрессии.

6. Проверить гипотезу о значимости выборочного коэффициента корреляции.

Теоретический материал

1. Изучение связи между случайными величинами и начинается с составления таблицы, в которой используются полученные в лабораторной работе № 1 частичные интервалы для случайных величин и . По этим интервалам составляется таблица, в которой в частичных интервалах проводится подсчет количества пар значений , для которых попало соответственно в -ый, а в -ый интервалы ( ).

2. В корреляционной таблице в первой строке и первом столбце записываются середины частичных интервалов для случайных величин и , использованные в предыдущей таблице, и проставляется найденное в ней количество пар .

3. Корреляционное поле строится следующим образом. В системе координат по оси абсцисс отмечаются середины интервалов признака , по оси ординат середины интервалов признака и отмечается количество пар значений . По характеру расположения точек на корреляционном поле выбирается вид зависимости между изучаемыми признаками и .

4. Предполагая линейный характер зависимости между товарооборотом и средними товарными запасами , вычисляется выборочный корреляционный момент по формуле:

.

Для проверки вычислений значение можно вычислять двумя способами: а) ;

б) .

Выборочный коэффициент корреляции находится по формуле:

,

он определяет тесноту связи между признаками и . Одним из свойств является то, что , чем ближе к единице модуль значения , тем теснее связаны изучаемые признаки.

5. Выборочными уравнениями регрессии на () и на () являются уравнения вида:

;

.

Коэффициентами регрессии на () и на () являются угловые коэффициенты прямых линий регрессии:

;

.

Правильность вычислений выборочного коэффициента корреляции можно проверить, используя его определение, т.е. из равенства:

.

На корреляционном поле построить полученные прямые линии регрессии и и найти их точку пересечения. Координаты точки пересечения должны совпадать с и .

6. Поскольку выборочный коэффициент корреляции найден по выборке, которая отобрана из генеральной совокупности случайно, то нельзя заключить, что коэффициент корреляции генеральной совокупности также отличен от нуля. Следовательно, возникает необходимость при заданном уровне значимости проверить нулевую гипотезу о равенстве нулю генерального коэффициента корреляции () нормальной двумерной случайной величины при конкурирующей гипотезе . Если нулевая гипотеза отвергается, то это означает, что коэффициент корреляции значимо отличается от нуля, признаки и коррелированы, т.е. связаны линейной зависимостью.

В качестве критерия проверки нулевой гипотезы принимают случайную величину:

.

Эта величина при справедливости нулевой гипотезы имеет распределение Стьюдента с степенями свободы.

Для того, чтобы при заданном уровне значимости проверить нулевую гипотезу при конкурирующей гипотезе , нужно вычислить наблюдаемое значение критерия

и по таблице критических точек распределения Стьюдента, по заданному уровню значимости и числу степеней свободы найти (приложение В*) критическую точку для двусторонней критической области.

Если , то нет оснований отвергнуть нулевую гипотезу.

Если , то нулевую гипотезу отвергают.