При защите лабораторной работы:

1. Объяснить полученные результаты.

2. Ответить на контрольные вопросы.

3. Решить задачи и упражнения.

Контрольные вопросы

1. В чем заключается сущность выборочного метода? На каких теоремах теории вероятностей основан этот метод?

2. Что означает термин “репрезентативная выборка”? Каким образом она обеспечивается?

3. Приведите примеры дискретных и непрерывных вариационных рядов.

4. Назовите свойства эмпирической функции распределения. Какова разница между ней и теоретической функцией распределения?

5. Перечислите числовые характеристики выборки и формулы, по которым они вычисляются. Что характеризует каждая из них?

6. Что такое точечная оценка неизвестного параметра закона распределения?

7. Какими свойствами должны обладать точечные оценки?

8. Назовите точечные оценки, которые обладают всеми необходимыми свойствами.

Задачи и упражнения

1. Получено распределение работников предприятия по заработной плате в усл.ед.:

Зар.плата, у.е.	3	3.5	4	4.5	5	6
Число рабочих	3	4	8	7	5	2

а) найти среднюю заработную плату работников данного предприятия, оценить абсолютный разброс заработной платы вокруг средней;

б) построить график эмпирической функции распределения;

в) найти дисперсию, исходя из определения ,

и пользуясь формулой .

2. Найти точечные оценки генеральной совокупности по выборке, записанной в виде интервального вариационного ряда

Частичные интервалы	(1 – 3]	(3 – 5 ]	(5 – 7]	(7 – 9]
Частоты,	8	22	18	7

3. При изучении химического состава творога было обследовано 10 образцов и получены следующие данные о содержании жира в %: 4.9, 4.6, 5.4, 4.9, 6.5, 7.5, 8.4, 8.8, 6.8, 7.3.

Определить среднее содержание жира в твороге, оценить абсолютный разброс жирности исследуемых образцов.

Расчетная работа 2

Проверка статистических гипотез

Цель работы

Овладеть методами:

а) проверки статистической гипотезы о нормальном распределении генеральной совокупности, из которой извлечена выборка, по критерию Пирсона;

б) нахождения доверительных интервалов для оценки параметров нормального распределения.

Перед выполнением лабораторной работы № 2 необходимо изучить соответствующие разделы «Математической статистики», для этого может быть использована следующая литература:

[1 – гл. 19: § 1-4, 23,24; гл. 16: §14, 15, 18; гл. 17: § 6, 7].

[2 –гл. 8: § 3-5].

[3 –гл. 30: 30.1-30.3].

[4 –гл. 9: 9.6, 9.7; гл. 10: 10.7].

[5 –гл. VI: § 4; гл.VII: § 1, 3].

Последовательность выполнения работы:

1. Выдвинуть нулевую гипотезу о виде распределения.

2. Провести предварительную проверку эмпирического распределения на нормальность.

3. По критерию согласия Пирсона проверить нулевую гипотезу. С этой целью сравнить эмпирические и теоретические частоты.

4. Вычислить случайную величину по найденным значениям теоретических частот ;

5. По заданному для вариантов уровню значимости (приложение А) и по числу степеней свободы найти соответствующее значение (приложение В). Сравнить и , и сделать вывод о принятии или непринятии нулевой гипотезы .

6. Построить на одном чертеже полигон относительных частот и нормальную кривую по теоретическим вероятностям .

7. Найти доверительный интервал для оценки параметра нормального распределения с заданной доверительной вероятностью .

8. Найти доверительный интервал для оценки параметра нормального распределения с заданной доверительной вероятностью .

Теоретический материал

1. Статистической гипотезой называют предположение (высказывание) либо о виде неизвестного распределения, либо о параметрах известных распределений. Нулевой (основной) называют выдвинутую гипотезу. Конкурирующей (альтернативной) называют гипотезу , которая противоречит нулевой. В данной лабораторной работе выдвигается нулевая гипотеза о виде предполагаемого распределения. В лабораторной работе № 1 получены гистограмма и полигон относительных частот, которые напоминают кривую Гаусса. Поэтому можно предположить, что закон распределения изучаемой случайной величины является нормальным.

Нормальный закон распределения занимает среди других законов распределения особое положение и является наиболее часто встречающимся на практике. Главная его особенность состоит в том, что он является предельным законом, к которому приближаются другие законы распределения при часто встречающихся типичных условиях.

Если рассматриваемая случайная величина является суммой достаточно большого числа других независимых или слабо зависимых случайных величин, влияние каждой из которых на нее очень мало, то эта случайная величина будет иметь распределение, близкое к нормальному. Случайная величина – товарооборот, изучаемая в работе, зависит от множества факторов (наличия у населения денег, количества и качества товаров, качества обслуживания и т.д.), которые не зависят друг от друга, и каждый из которых влияет на нее незначительно. Учитывая сказанное, можно выдвинуть нулевую гипотезу : генеральная совокупность, из которой извлечена выборка, распределена по нормальному закону.

2. Для предварительной проверки эмпирического распределения на нормальность используем основные свойства нормального распределения (правило трех сигм):

а) практически все отклонения от среднего значения, а именно 99,73% из них, должны быть меньше трех сигм.

б) примерно 2/3 (68,26%) всех отклонений должно быть меньше .

3. Согласно критерию согласия Пирсона, сравниваются эмпирические, т.е. наблюдаемые, частоты и теоретические частоты , вычисленные в предположении нормального распределения. Теоретические вероятности попадания случайной величины в интервал вычисляются по формуле:

.

Замечание. В каждом интервале должно быть не менее 5 вариант, малочисленные интервалы следует объединить с соседними, суммируя частоты.

4. В качестве критерия проверки нулевой гипотезы примем случайную величину

.

Ясно, что чем меньше различаются эмпирические и теоретические частоты, тем меньше величина этого критерия, и следовательно, он в известной степени характеризует близость эмпирического и теоретического распределений. Этот критерий называют критерием согласия «хи квадрат». Используя вычисленные теоретические частоты , находится наблюдаемое значение критерия

.

5. По заданному уровню значимости и числу степеней свободы находят по таблице (приложение В) критическую точку . Число степеней свободы определяется по формуле: , где - число интервалов после объединения, – число параметров предполагаемого распределения, которые оценены по данным выборки.

Сравнивая значения и , сделаем вывод о принятии или непринятии нулевой гипотезы .

Если , то нет оснований отвергнуть нулевую гипотезу.

Если , то нулевую гипотезу отвергают.

Замечание. Если при заданном в варианте уровне значимости нулевая гипотеза не принимается, то следует выяснить, при каком уровне значимости она принимается.

6. На чертеже, где показан полигон относительных частот (рисунок 2), построить нормальную кривую по точкам .

7. По заданной доверительной вероятности найдём интервальную оценку параметра нормального закона распределения. Вычислим погрешность интервального оценивания , где параметр находится (при больших объемах выборки ) из равенства или , где - функция Лапласа. Доверительный интервал для оценки математического ожидания находится из неравенства .

8. Доверительный интервал для оценки параметра нормального распределения при заданной доверительной вероятности находится из неравенства , где исправленное выборочное среднее квадратическое отклонение при выборках большого объема приближенно равно , а находится по таблице (приложение Г). В данном неравенстве предполагается, что , в противном случае, учитывая, что оцениваемый параметр , доверительный интервал принимает вид .

Оформление лабораторной работы № 2

1. Построенные в лабораторной работе № 1 гистограмма (рис. 1) и полигон относительных частот (рис. 2) напоминают кривую Гаусса. Поэтому выдвинем нулевую гипотезу : генеральная совокупность, из которой извлечена выборка, распределена по нормальному закону.

2. Для предварительной проверки эмпирического распределения на нормальность используем основные свойства нормального распределения (проверку проводим по таблице 6 лабораторной работы № 1):

а) все отклонения усредненных значений признака от среднего значения , меньше ;

б) 68% отклонений меньше .

Оба условия проверки выполняются, следовательно, будем проверять нулевую гипотезу с помощью критерия согласия Пирсона.

3. Согласно критерию согласия Пирсона, сравниваются эмпирические, частоты и теоретические частоты , для нахождения которых необходимо вычислить теоретические вероятности попадания случайной величины в интервал . Учитывая замечание, два последних интервала объединим. Составим расчетную таблицу, где будут использованы значения и , вычисленные в лабораторной работе № 1.

Таблица 1 – Расчет теоретической вероятности попадания случайной величины в заданный интервал

1	( ;20]		-1.64	-0.5	-04495	0.0505
2	(20; 30]	-1.64	-1.01	-0.4495	-0.3438	0.1057
3	(30; 40]	-1.01	-0.53	-0.3438	-0.2019	0.1419
4	(40; 50]	-0.53	0.02	-0.2019	0.0080	0.2099
5	(50; 60]	0.02	0.58	0.0080	0.2190	0.2110
6	(60; 70]	0.58	1.13	0.2190	0.3708	0.1518
7	(70; ]	1.13		0.3708	0.5000	0,1292

Контроль: , где – число объединённых интервалов.

4. В качестве проверки нулевой гипотезы по критерию Пирсона примем случайную величину

.

Составим расчетную таблицу.

Таблица 2 – Вычисление наблюдаемого значения критерия

	Середины интервалов
1	15	5	0.0505	5	0
2	25	11	0.1051	11	0
3	35	15	0.1419	14	0.07
4	45	20	0.2099	21	0.05
5	55	19	0.2110	21	0.19
6	65	14	0.1518	15	0.07
7	75	16	0.1292	13	0.69

Итак, вычисленное по данным наблюдений значение критерия, .

5. Зададим уровень значимости , найдем число степеней свободы , учитывая, что, число интервалов после объединения =7, а для нормального распределения =2, получим .

По таблице критических точек распределения (приложение В**), по уровню значимости и по числу степеней свободы , находим соответствующее значение . Поскольку , то нет оснований отвергнуть нулевую гипотезу о нормальном распределении случайной величины .

6. Построим на одном чертеже полигон относительных частот (рисунок 2 из лабораторной работы №1) и нормальную кривую по серединам частичных интервалов и соответствующим им вероятностям , полученным в таблице 2.

Рис. 1. Полигон относительных частот и нормальная кривая

3. По заданной доверительной вероятности найдём интервальные оценки параметров нормального закона распределения. Найдём доверительный интервал для оценки параметра нормального распределения с заданной доверительной вероятностью . Параметр при нахождении погрешности интервального оценивания найдем по таблице Лапласа (приложение Б*) из равенства или , соответственно . Погрешность оценивания . Доверительный интервал найдём по формуле и учитывая, что выборочное среднее, найденное в лабораторной работе , получим:

или .

Таким образом, с вероятностью (в 90% случаев) можно утверждать, что доверительный интервал (46,63; 52,57) покроет математическое ожидание значения товарооборота; в 10% случаев математическое ожидание может выйти за границы доверительного интервала.

8. Доверительный интервал для оценки параметра нормального распределения при заданной доверительной вероятности найдем из неравенства , учитывая, что при выборках большого объема можно принять ==18, а =0.1 найден по таблице (приложение Г). Искомый доверительный интервал будет иметь вид: или .

Итак, доверительный интервал (16.2; 19.8) с надежностью покрывает неизвестное генеральное среднее квадратическое отклонение .