1.5. Числовые множества

Множество действительных чисел геометрически удобно представлять точками числовой оси, если выбрать единицу масштаба. Элемент «0» принимается за начало координат. Множеству действительных чисел поставлено в однозначное соответствие множество всех точек числовой оси. В дальнейшем будут использоваться типы числовых множеств, которые будут называться закрытый интервал ( сегмент, отрезок) и открытый интервал.

Множество Х чисел, удовлетворяющих неравенству

a  x  b , где x  R ,

называется закрытым интервалом (сегментом, отрезком) и обозначается [a,b].

Здесь границы отрезка принадлежат множеству, то есть a, b  X.

Множество Х чисел, удовлетворяющих неравенству

a < x < b

обозначает открытый интервал (a, b). Круглые скобки указывают, что границы a, b не принадлежат множеству, то есть a  X, b  X.

Множество Х чисел, удовлетворяющих неравенству

а  x < b

называется полуинтервалом и обозначается [a, b).

Множество Х чисел, удовлетворяющих неравенству

a < x  b

называется полуинтервалом и обозначается (a, b].

В неограниченных числовых множествах используются символы: + , -.

Читаются эти символы так: «бесконечность», «плюс бесконечность», «минус бесконечность». Этими символами обозначают неограниченные промежутки числовых множеств X. Ниже приводятся арифметические операции с символами бесконечности, где а – постоянное число.

Если к числу прибавить «бесконечность » , то получается «бесконечность»:

а + ( +  ) = +  ,

другие случаи:

а + ( - ) = -  ; а – ( +  ) = - .

Если к « бесконечности» прибавить «бесконечность», то получается «бесконечность»:

(+ ) + ( + ) = +  ,

аналогично : (- ) + ( -  ) = - .

Если « бесконечность» умножить на число, то получается « бесконечность»:

а  ( + ) = +  при а > 0;

а  ( + ) = -  при а< 0.

Если число разделить на « бесконечность», то получается «0».

а / (+ ) = а / (- ) = 0.

Если «бесконечность» умножить на « бесконечность», то получается «бесконечность», но более высокого порядка:

( +  )  ( +  ) = + 

Операции (+  ) – ( + ), ( + ) / ( + ) и 0   являются неопределенными.

1.6. Упражнения тренинга

Записать объединение следующих двух множеств А и В:

1. А = { 1,2,3} В = { 2,4,5}

2. А = { 1,2,3 } В = { 2,3,4}

3. А = { 1,2,3,4 } В = { 2,3,4}

4. А = { 1,2,3 } В = { 4,5 }

Ответ: 1. {1,2,3,4,5} 2. { 1,2,3,4} 3. { 1,2,3,4} 4. { 1,2,3,4,5}

Записать пересечение двух множеств А и В из пунктов 1 – 4.

Ответ: 1. { 2} 2. { 2,3 } 3. { 2,3,4 } 4. пустое множество.

Записать разность множеств А и В:

А = {1,2,3} В = {2,4,5}

А = {1,2,3,4} B = {2,4,5}

A = {1,2,3} B = {2,3}

A = {1,2,3} B = {3,2,1}

Ответ: А\В = {1,3}, {1,3}, {1}, пустое множество.

Найдите кардинальные числа множеств:

{2,2,4,6,6}

{3,4,5,5,6,6}

{5,4,2,1,1}

{3,5,7,9}

Выбрать равные множества из следующих множеств:

1. {2,3,4} 2. {5,6,7} 3.{4,3,5} 4. {7,6,5,} 5. { 3,2,4} 6. { 6,3,2}

7. {4,3,2} 8.{6,7,4} 9.{2,6,3} 10.{6,7,5} 11.{3,4,5} 12. {4,5,6}

Выбрать эквивалентные множества из следующих множеств:

1. {2,3,4} 2. {5,6,7} 3. { 4,5,6,7} 4. {1,2,3} 5. {3,4,6,7} 6. {4,4,2}

7. {2,3,2} 8.{9,8,6} 9. { 4,5,6,6} 10. { 3,2} 11.{6,6,6} 12.{5}.

Записать дополнения множеств А, если универсальное множество

U – множество десятичных цифр, а множества А представлены вариантами:

1. А = { 5,6,7} 2. A = {0,2,3,4} 3. A = {6,7,4,5,3} 4. A = {9,8,7,6,5}

Вопросы для самопроверки

1. Какой смысл вкладывается в термин «множество»?

2. Что называется подмножеством данного множества?

3. Какие множества называются равными?

4. Какие множества называются эквивалентными?

5. Что называется кардинальным числом множества?

6. Что называется объединением множеств?

7. Что называется пересечением множеств?

8. Что называется разностью множеств?

9. Что называется дополнением множества?

10. Что называется прямым произведением множеств?