13

1.Элементы теории множеств

1.1 Вводные понятия

В теорию множеств наибольший вклад внес Г. Кантор. Официально теория множеств была признана в 19 веке как раздел математики, в котором изучаются общие свойства конечных и бесконечных множеств.

Понятие «Множество» - одно из первичных понятий математики. Множество – это набор некоторых объектов произвольной природы, объединенных по каким-то общим для них признакам. Например, можно говорить о множестве целых чисел, множестве букв русского или иного алфавита, множестве книг в библиотеке, множестве студентов в аудитории и т.д. Объекты, из которых состоит множество А, называются его элементами а. Если объект а принадлежит множеству А, то это записывается так:

аА

Если же а не является элементом множества А, то это записывается так:

аА

Знак  называется знаком принадлежности.

Множества бывают конечные и бесконечные. Конечное множество – это такое множество, число элементов которого конечно. В противном случае множество является бесконечным. Множество натуральных чисел обозначают буквой N, множество целых чисел – буквой Z, множество действительных чисел – буквой R.

Множества А и В равны, если они состоят из одних и тех же элементов, записывается это так:

А=В.

Например: {2,3,5} = {3,5,2}

Элементы этих множеств записаны в различном порядке, но наборы элементов совпадают, поэтому множества равны, так как порядок записи элементов в множестве не имеет значения.

Два множества А и В называются эквивалентными, если между элементами этих множеств можно установить взаимно однозначное соответствие. Другими словами, каждое множество характеризуется кардинальным числом, показывающим, сколько элементов содержит данное множество и по числу элементов устанавливается наличие эквивалентности. Множества эквивалентны, если имеют одинаковые кардинальные числа. Очевидно, что эквивалентные множества могут быть не равными.

Если А = {3,4,5}, то оно содержит 3 элемента. В = {7,8,9} тоже содержит 3 элемента. И если два множества содержат одинаковое число элементов, они будут эквивалентными. Значит множество А эквивалентно, но не равно множеству В.

Например, множество всех натуральных чисел эквивалентно множеству всех нечетных чисел.

Существует множество, не имеющее элементов. Это множество называется пустым множеством и обозначается символом Ø.

1.2. Подмножества

Множество B называют подмножеством множества A, если любой элемент множества B принадлежит множеству A. В этом случае пишут B Í А. Читается эта запись так: « Множество В включено в множество А и множество А является подмножеством самого себя» ( по аналогии со знаком , известным из школьного курса математики : если а b, то сюда включается случай а = b )

Знак Í - называется знаком включения. Существует и другой знак включения, где нет знака равенства.

Запись В А говорит о том, что множество В включено в множество А, но при этом множество А не является своим подмножеством (по аналогии со знаком < ,если а < b, то это значит , что а b).

У любого множества А есть, по крайней мере, два подмножества: само множество А и пустое множество Ø. Подмножества А и Ø множества А называются несобственными подмножествами множества А. Все остальные подмножества множества А называются его собственными подмножествами.