1.3. Способы задания множеств

Множества можно задать двумя основными способами: 1) перечислив все его элементы; 2) описав его элементы при помощи характеристического свойства, устанавливающего, какие элементы принадлежат, а какие не принадлежат данному множеству. Пример для первого случая: А ={3,5,7} означает, что множество А состоит из трех перечисленных элементов.

Множество А элементов х, обладающих свойством Р(х), символически записываются в виде А = хР(х).

Пример для второго случая: А = х х=2к, к=1,2,3, … означает, что множество А состоит из четных положительных целых чисел 2,4,6, …

Все элементы множества должны отличаться один от другого, поэтому каждый элемент может входить в множество только один раз. Возникает вопрос, можно ли считать множеством, например, {5,5,8}? Да, это множество, но состоящее не из трех элементов, а из двух, и его кардинальное число равно двум.

1.4. Операции над множествами

Объединением (суммой) множеств А и В называется множество С всех элементов, принадлежащих хотя бы одному из множеств А, В.

Обозначается это так С = А В=х хА или хВ.

Пример 1: Если А = { 2, 3, 4}, В = { 4 , 5, 6}, то А В = {2, 3, 4, 5, 6} .

Пересечением множества А и В называется множество, состоящее из всех элементов, принадлежащих каждому из множеств А,В.

Обозначается пересечение так: А ∩ В.

Пример 2: Если А и В – множества из примера 1, то есть А = {2,3,4}, B = {4,5,6}, тогда пересечение А ∩ В = {4} - множество, состоящее из одного элемента. Элемент 4 принадлежит каждому множеству А и В.

Пересечение можно записать и в другом виде:

C = А ∩ В= {х хА и хВ}

Разностью множеств А и В называют множество, состоящее из тех элементов множества А, которые не принадлежат множеству В. Разность множеств А и В обозначается так: А\ В. Символически разность этих множеств записывается в виде:

А\ В = { х хА и хВ }

В примере 1 разность множеств А\ В = {2,3}.

Если U – универсальное множество, то дополнением множества А называется множество всех тех элементов множества U , которые не входят в множество А. Обозначается дополнение чертой над символом множества:

Универсальное множество – непустое множество тех элементов, которые участвуют в данном рассуждении.

Разность А\ В называют дополнением множества В до множества А.

Например, если U – множество десятичных цифр и А ={ 1,2,4} то дополнение будет {0,3,5,6,7,8,9}.

Коммутативный или переместительный закон для операции объединения выражается формулой:

А В = В А.

Ассоциативный или сочетательный закон для операции объединения выражается формулой:

(А В) С = (А С) В = А В С,

то есть благодаря ассоциативности при записи объединения нескольких множеств, скобки можно не использовать.

Операция пересечения также обладает свойством коммутативности и свойством ассоциативности.

Если в одном и том выражении встречаются операция объединения и пересечения, то первой выполняется операция пересечения, а затем выполняется операция объединения.

Операции пересечения и объединения обладают свойствами дистрибутивности, то есть к ним применим распределительный закон.

Если дано любое число множеств, то объединение данных множеств определяет множество, каждый элемент которого принадлежит хотя бы одному из данных множеств. А пересечение данных множеств определяет множество, каждый элемент которого принадлежит всем данным множествам.

Декартовым ( или прямым) произведением множеств А и В называют множество всех упорядоченных пар элементов ( a,b ), где а  А и b  В. Элементы a,b называются координатами или компонентами.

Прямое произведение обозначается: А В.

Пару чисел (a,b) условились изображать на координатной плоскости точкой, абсцисса которой равна первой компоненте пары, а ордината равна второй компоненте пары. Пусть А = {2,4}, В = {1,5}, то А В на координатной плоскости изображается заштрихованным прямоугольником со сторонами равными 2 и 4.