4. Несобственные интегралы

Определенный интеграл , где промежуток интегрирования конечный, а подынтегральная функция непрерывна на , называется собственным. Рассмотрим так называемые несобственные интегралы, т.е. интегралы от непрерывных функций, но с бесконечным промежутком интегрирования или определенный интеграл с конечным промежутком интегрирования, но от функции, имеющей на нем бесконечный разрыв.

1. Интеграл с бесконечным промежутком интегрирования (несобственный интеграл 1^ого порядка).

Пусть функция непрерывна на промежутке. Если существует конечный предел ,то его называют несобственным интегралом первого порядка и обозначают . Таким образом, =.

В этом случае говорят, что несобственный интеграл сходится. Если же указанный предел не существует или он бесконечен, то говорят, что интеграл расходится.

Аналогичным образом определяется несобственный интеграл на промежутке . =. Несобственный интеграл с двумя бесконечными пределами определяется формулой:

+, где С – произвольное число. В этом случае интеграл слева сходится лишь тогда, когда сходятся оба интеграла справа. Отметим, что если непрерывная функция на промежутке и интеграл сходится, то он выражает площадь бесконечно длинной криволинейной трапеции.

Пример: вычислить несобственный интеграл.

а) интеграл сходится

б) интеграл расходится, т.к. не существует.

2) Интеграл от разрывной функции (несобственный интеграл 2^ого рода)

Пусть функция непрерывна на и имеет бесконечный разрыв при x=b. Если существует конечный предел , то его называют несобственным интегралом второго рода и обозначают . Таким образом, по определению

=. Если предел в правой части существует, то несобственный интеграл сходится. Если же указанный предел не существует или бесконечен, то интеграл расходится. Аналогично, если функция терпит бесконечный разрыв в точке x=a, то =. Если функция терпит разрыв во внутренней точке С отрезка , то несобственный интеграл второго рода определяется соотношением +. В этом случае интеграл слева называется сходящимся, если оба несобственных интеграла, стоящих справа, сходятся.

Пример: Вычислить , при х=0, функция терпит бесконечный разрыв.

. Следовательно, интеграл расходится.

7. Применение определенных интегралов для расчета геометрических и физических величин различного рода

Рассмотрим каким образом можно найти значение какой-либо физической или геометрической величины А, связанной с изменением какого-либо независимого параметра х, меняющегося в пределах от до b. Считаем, что величина А – аддитивная, т.е. при разбиении на части, суммарное значение всех частей равно полной величине А, т.е. .

Для определения А можно пойти двумя путями. В первом случае разобьем промежутки изменения параметра х на части, причем каждой части будет соответствовать свое значение . Каждое такое элементарное слагаемое можно представить в виде произведения какой-то функции f на элементарный отрезок . То есть .

Тогда приближенное значение , а точное значение .

Указанный способ основан на представлении интеграла как о сумме бесконечного большого числа бесконечно малых величин. Второй путь несколько видоизменен на промежутке изменения х . Выбираем произвольное значение и рассматриваем промежуток . На этом промежутке становится функцией . . Затем находим величину приращения при изменении на малую величину , т.е. находим дифференциал функции .

, где - определяется условиями задачи, учитывая, что при находим : .