2.Линейные дифференциальные уравнения высших порядков.
Уравнение вида
где
-
заданные функции (от
)
называют линейным ДУ n-го
порядка .
Оно содержит искомую функцию
и
все ее производные лишь в первой степени.
Функции
называются коэффициентами уравнения,
а
- его свободным членом .Если
то уравнение называется однородным
линейным дифференциальным уравнением.
Если
,
то уравнение называется неоднородным.
Разделив уравнение на
и обозначив
можно записать уравнение в виде приведенного уравнения
(10)
В дальнейшем будем рассматривать
уравнения типа (10) считая, что свободный
член и коэффициенты являются непрерывными
функциями ( на некотором интервале
.
-
Линейные однородные ДУ второго порядка
Рассмотрим линейное однородное дифференциальное уравнение (ЛОДУ) второго
порядка
(11)
Теорема 3 Если функции
и
являются частными решениями уравнения
(11) , то решением этого уравнения является
также функция
, где
и
произвольные постоянные.
Из теоремы вытекает, что если
и
- решения уравнения (11),то решениями
этого уравнения будут также функции
и
.
Решение содержит две постоянные величины
и
.Возникает
вопрос; будет ли это решение общим
решением уравнения (11)? Для ответа на
этот вопрос необходимо ввести понятие
линейной зависимости и линейной
независимости функций.
Функции
и
называются линейно независимыми на
интервале
если равенство
(12)
выполняется тогда и только тогда , когда
.Если
хотя бы одно из чисел
или
отличны
от нуля и равенство (12) выполняется ,то
функции
и
называются линейно зависимыми на
.Очевидно,
что функции
и
линейно зависимы, тогда и только тогда
когда они пропорциональны т.е. для всех
выполняется равенство
или
,
где
.
Например, функции
и
линейно зависимы, т.к.
а
и
линейно независимы т.к.
.
Оказывается, что совокупность любых
двух линейно независимых на интервале
частных решений
и
ЛОДУ второго порядка определяет
фундаментальную систему решений
этого уравнения: любое произвольное
решение может быть получено как комбинация
.
Теперь можно сформулировать при каких условиях только что приведенная комбинация будет общим решением уравнения (11).
Теорема 4 ( Структура общего решения ЛОДУ второго порядка)
Если два частных решения
и
ЛОДУ (11) образуют на интервале
фундаментальную систему, то общим
решением этого уравнения является
функция
(12)
где
- произвольные const.
Согласно теореме 3 функция (12) является решением уравнения (11).Поэтому остается доказать, что это решение общее, т.е. что из него можно выделить единственное частное решение, удовлетворяющее заданным начальным условиям
где
.
Это легко можно доказать, но мы этого делать не будем.
-
Линейные однородные ДУ n- го порядка.
Полученные выше результаты можно распространить на линейные однородные дифференциальные уравнения n-го порядка, имеющие вид
(13)
1. Если функция
является частным решением уравнения
(13), то его решением является и функция
.
2. Функции
называются линейно независимыми на
,
если равенство
выполняется лишь в случае, когда все
числа
,
в противном случае (если хотя бы одно
из чисел
не равно нулю) функции
-
линейно зависимы.
3. Частные решения
уравнения (13) образуют фундаментальную
систему решений на
,
если они линейно независимые решения
в этом промежутке.
-
Общее решение ЛОДУ(13) имеет вид
,
где
-
произвольные постоянные,
- частные решения уравнения (13), образующие
фундаментальную систему.