- •Часть I Введение
- •I. Матрицы.
- •1. Основные понятия.
- •2. Действия над матрицами
- •2. Определители
- •1. Основные понятия
- •2. Свойства определителей (необходимы для вычисления определителей):
- •3. Невырожденные матрицы
- •2. Ранг матрицы
- •II. Система линейных уравнений.
- •1. Основные понятия
- •2. Решение системы линейных уравнений
- •3. Решение не вырожденных линейных систем.
- •4. Метод Гаусса
- •5. Система однородных линейных уравнений
- •6.Модель Леонтьева многоотраслевой экономики
- •III. Элементы векторной алгебры
- •1. Основные понятия
- •2. Операции над векторами
- •3. Векторное пространство и п – мерный вектор
- •3.1. Линейная зависимость векторов
- •Размерность и базис линейного пространства.
- •3.3. Разложение вектора в ортогональном базисе.
- •3.4.Переход к новому базису.
- •3.5. Линейные операторы.
- •3.6. Собственные векторы и собственные значения линейного оператора.
- •2. Симметричный оператор.
- •3. Ортогональность собственных векторов.
- •3.7.Квадратичные формы.
- •IV Аналитическая геометрия на плоскости.
- •1.Система координат. Основные понятия.
- •Линия на плоскости(основные понятия)
- •2. Уравнение прямой на плоскости
- •1) Уравнение прямой с угловым коэффициентом
- •2) Общее уравнение прямой X
- •7) Нормальное уравнение прямой
- •8) Угол между двумя прямыми
- •9) Точка пересечения прямых
- •10) Расстояние от точки до прямой
- •3.Линии второго порядка на плоскости.
- •1) Окружность
- •2) Эллипс
- •3) Гипербола.
- •Исследование формы гиперболы по ее уравнению
- •Асимптоты гиперболы
- •4) Парабола
- •Исследование формы параболы по ее уравнению
- •5) Общее уравнение линий второго порядка
- •V Аналитическая геометрия в пространстве
- •1. Уравнение поверхности и линии в пространстве
- •2.Поверхности второго порядка
- •VI. Основы математического анализа
- •1. Множества. Действительные числа
- •6. Предел функции
- •1) Предел функции в точке
- •2) Предел функции при X→∞.
- •3) Бесконечно большая функция (б.Б.Ф.).
- •4) Бесконечно малые функции.
- •6) Признаки существования пределов.
- •7) Первый замечательный предел.
- •8. Комплексные числа
- •Часть II Функции нескольких переменных
- •Функция двух переменных
- •Предел функции
- •Непрерывность функции двух переменных
- •Производные и дифференциалы функции нескольких переменных
- •Частные производные высших порядков
- •Дифференцируемость и полный дифференциал функции
- •Дифференциалы высших порядков
- •Производная сложной функции. Полная производная
- •8.Инвариантность формы полного дифференциала
- •Дифференцирование неявной функции
- •Производная по направлению
- •Градиент
- •Экстремум функции двух переменных
- •Необходимые и достаточные условия экстремума
- •II. Неопределенный интеграл
- •Понятие неопределенного интеграла
- •2. Свойства неопределенного интеграла
- •3. Таблица основных неопределенных интегралов
- •4. Основные методы интегрирования
- •5. Интегрирование рациональных функций.
- •6. Интегрирование тригонометрических функций
- •7. Интегрирование иррациональных функций
- •III. Определенный интеграл
- •Определение определенного интеграла
- •Геометрический смысл определенного интеграла
- •3) Работа переменной силы
- •Формулы Ньютона-Лейбница
- •Основные свойства определенного интеграла
- •Вычисление определенного интеграла
- •Несобственные интегралы
- •7. Применение определенных интегралов для расчета геометрических и физических величин различного рода
- •7.1. Вычисление площадей плоских фигур
- •7.2 Вычисление длины дуги плоской кривой
- •7.3 Вычисление объема тела
- •8. Приближенное вычисление определенного интеграла
- •8.1. Формулы прямоугольников
- •8.2. Формула трапеций
- •8.3. Формула парабол (Симпсона)
- •4. Кратные интегралы
- •4.1. Двойной интеграл. Основные понятия
- •4.2. Геометрический смысл двойного интеграла
- •4.3. Основные свойства двойного интеграла
- •4.4.Вычисление двойного интеграла
- •4.5. Приложения двойного интеграла
- •Статические моменты и центр тяжести плоской фигуры
- •4.6. Тройной интеграл. Основные понятия
- •4.7. Вычисление тройного интеграла.
- •4.8. Приложения тройного интеграла
- •V. Числовые ряды
- •5.1. Основные понятия
- •5.2. Необходимый признак сходимости числового ряда
- •5.3. Достаточные признаки сходимости знакопостоянных рядов
- •5.4. Признак Даламбера
- •5.5. Радикальный признак Коши
- •5.6. Интегральный признак Коши. Обобщенный гармонический ряд
- •5.7. Знакочередующиеся и знакопеременные ряды Признак Лейбница
- •5.8. Абсолютная и условная сходимость числовых рядов
- •Степенные ряды
- •1 Функциональные ряды
- •1.1 Основные понятия
- •2. Некоторые приложения степенных рядов
- •2.1. Приближенное вычисление значений функций
- •2.2. Приближенное вычисление определенных интегралов
- •VII Ряды Фурье
- •7.1. Основные понятия
- •7.2. Тригонометрический ряд Фурье
- •7.3 Разложение в ряд Фурье 2π-периодических функций. Теорема Дирихле
- •7.4. Разложение в ряд Фурье четных и нечетных функций
- •7.5. Разложение в ряд Фурье функций произвольного периода
- •VIII. Дифференциальные уравнения (д.У.)
- •8.1. Общие сведения на основании понятия о д.У.
- •8.2. Дифференциальное уравнение первого порядка
- •8.3.Дифференциальные уравнения высших порядков
- •1.Решение путем понижения порядка уравнения.
- •2.Линейные дифференциальные уравнения высших порядков.
- •8.4. Решение ду второго порядка с постоянными коэффициентами.
- •1.Решение лоду второго порядка с постоянными коэффициентами.
- •2. Решение лоду n –го порядка с постоянными коэффициентами.
- •Линейные неоднородные дифференциальные уравнения (лнду)
- •1.Структура общего решения лнду второго порядка.
- •2.Метод вариации произвольных постоянных.
- •3.Решение лнду второго порядка с постоянными коэффициентами и правой частью специального вида.
- •4.Решение лнду n- го порядка с постоянными коэффициентами и правой специальной частью.
- •Системы дифференциальных уравнений
- •Решение нормальных систем.
- •2.Системы линейных ду с постоянными коэффициентами.
3. Векторное пространство и п – мерный вектор
Проведем обобщение ранее введенных понятий вектора и пространства для трехмерных систем на п – мерный случай.
Определение 1. Любой упорядоченный набор из п действительных чисел а1, а2, … ап называется п – мерным вектором , при этом числа составляющие упомянутый набор называются координатами (компонентами) вектора .
Определение 2. Совокупность всех п – мерных векторов называется п – мерным векторным пространством Rn. Координаты п – мерного вектора а можно расположить либо в строку = (а1, а2, …ап) либо в столбец = , эти записи называются соответственно вектором – строкой, и вектором – столбцом.
Два вектора с одним и тем же числом координат = (а1, а2, …аn) и = (b1, b2, …bn) называются равными, если их соответствующие координаты равны т.е. a1=b1, a2=b2 …an=bn . Вектор все координаты которого равны нулю называется нулевым: о = (0,0,…0).
Операции над векторами. Для п – мерных векторов справедливы все те операции для трех мерных векторов о которых мы говорили ранее. Например:
Cosи т.д.
Введем еще одно важное свойство векторов. Векторы и называются ортогональными, если их скалярное произведение равно нулю т.е. ·=0
Это условие для трех мерного пространства мы называем условием перпендикулярности векторов и .
3.1. Линейная зависимость векторов
Пусть векторы линейного векторного пространства Rn, а λ1λ2…λn – действительные числа, тогда вектор - называется линейной комбинацией векторов , а λ1λ2…λn – коэффициентами этой комбинации. Если λ1= λ2=… λn=0, то =0, но может быть и так, что существует и линейная комбинация векторов - у которой не все коэффициенты =0, но которая тем не менее равна нулю. В этом случае - линейно зависимы . Иначе говоря эти вектора – линейно зависимы, если найдутся такие действительные числа λ1λ2…λn, не все равные нулю, что .
Если же это равенство выполняется только тогда, когда все числа λ1= λ2=… λn=0, то эти вектора – линейно независимы.
Отметим основные свойства линейно зависимых векторов:
-
Если векторы линейно зависимы, то один из них может быть представлен в виде линейной комбинации остальных и, обратно, если один из векторов есть линейная комбинация остальных, то векторы – линейно зависимы.
В самом деле если - линейно зависимы, то (не все коэффициенты равны 0), пусть например λ1≠0, тогда , что и требовалось доказать.
Обратное: если , то
, т.е. - линейно зависимые вектора.
-
Если некоторые из векторов линейно зависимы, то и вся эта система линейно зависима.
Пусть линейно зависимы и т.е. , следовательно вся система – линейно зависима.
-
Если среди векторов имеется хотя бы один нулевой, то эти векторы линейно зависимы.
Пусть , тогда , λ1≠0 что и требовалось доказать.
Приведем примеры линейно зависимых и линейно независимых векторов.
-
Любой вектор ≠0 линейно независим т.к. λ1≠0 при λ1≠0;
-
Нулевой вектор о(λ=0 – всегда линейно зависим);
-
Два коллинеарных вектора линейно зависимы. На самом деле если и коллинеарны, то при они линейно зависимы в результате свойства 3.
Если ≠0, то или
-
Неколлинеарные векторыа – линейно независимы.
-
В случае трех векторов линейно зависимы вектора - компланарные (расположены паралельно плоскости).
Теорема: в пространстве Rn любая система содержащая m векторов линейно зависима при m>n.