3. Векторное пространство и п – мерный вектор

Проведем обобщение ранее введенных понятий вектора и пространства для трехмерных систем на п – мерный случай.

Определение 1. Любой упорядоченный набор из п действительных чисел а₁, а₂, … а_п называется п – мерным вектором , при этом числа составляющие упомянутый набор называются координатами (компонентами) вектора .

Определение 2. Совокупность всех п – мерных векторов называется п – мерным векторным пространством Rⁿ. Координаты п – мерного вектора а можно расположить либо в строку = (а₁, а₂, …а_п) либо в столбец = , эти записи называются соответственно вектором – строкой, и вектором – столбцом.

Два вектора с одним и тем же числом координат = (а₁, а₂, …а_n) и = (b₁, b₂, …b_n) называются равными, если их соответствующие координаты равны т.е. a₁=b₁, a₂=b₂ …a_n=b_n . Вектор все координаты которого равны нулю называется нулевым: о = (0,0,…0).

Операции над векторами. Для п – мерных векторов справедливы все те операции для трех мерных векторов о которых мы говорили ранее. Например:

Cosи т.д.

Введем еще одно важное свойство векторов. Векторы и называются ортогональными, если их скалярное произведение равно нулю т.е. ·=0

Это условие для трех мерного пространства мы называем условием перпендикулярности векторов и .

3.1. Линейная зависимость векторов

Пусть векторы линейного векторного пространства Rⁿ, а λ₁λ₂…λ_n – действительные числа, тогда вектор - называется линейной комбинацией векторов , а λ₁λ₂…λ_n – коэффициентами этой комбинации. Если λ₁= λ₂=… λ_n=0, то =0, но может быть и так, что существует и линейная комбинация векторов - у которой не все коэффициенты =0, но которая тем не менее равна нулю. В этом случае - линейно зависимы . Иначе говоря эти вектора – линейно зависимы, если найдутся такие действительные числа λ₁λ₂…λ_n, не все равные нулю, что .

Если же это равенство выполняется только тогда, когда все числа λ₁= λ₂=… λ_n=0, то эти вектора – линейно независимы.

Отметим основные свойства линейно зависимых векторов:

1. Если векторы линейно зависимы, то один из них может быть представлен в виде линейной комбинации остальных и, обратно, если один из векторов есть линейная комбинация остальных, то векторы – линейно зависимы.

В самом деле если - линейно зависимы, то (не все коэффициенты равны 0), пусть например λ₁≠0, тогда , что и требовалось доказать.

Обратное: если , то

, т.е. - линейно зависимые вектора.

2. Если некоторые из векторов линейно зависимы, то и вся эта система линейно зависима.

Пусть линейно зависимы и т.е. , следовательно вся система – линейно зависима.

3. Если среди векторов имеется хотя бы один нулевой, то эти векторы линейно зависимы.

Пусть _{, тогда} , λ₁≠0 что и требовалось доказать.

Приведем примеры линейно зависимых и линейно независимых векторов.

1. Любой вектор ≠0 линейно независим т.к. λ₁≠0 при λ₁≠0;

2. Нулевой вектор о(λ=0 – всегда линейно зависим);

3. Два коллинеарных вектора линейно зависимы. На самом деле если и коллинеарны, то при они линейно зависимы в результате свойства 3.

Если ≠0, то или

4. Неколлинеарные векторыа – линейно независимы.

5. В случае трех векторов линейно зависимы вектора - компланарные (расположены паралельно плоскости).

Теорема: в пространстве Rⁿ любая система содержащая m векторов линейно зависима при m>n.