- •Математическое моделирование (Катанов Юрий Евгеньевич) Лабораторная работа №1.
- •Варианты заданий:
- •Лабораторная работа №2.
- •Варианты заданий:
- •Лабораторная работа №3.
- •Варианты заданий:
- •Лабораторная работа №4.
- •Варианты заданий:
- •Лабораторная работа №5.
- •Варианты заданий:
- •Лабораторная работа №6.
- •Варианты заданий:
- •Варианты заданий:
- •Варианты заданий:
- •Лабораторная работа №7.
- •Варианты заданий:
- •Варианты заданий:
- •Варианты заданий:
- •Лабораторная работа №8.
- •Варианты заданий:
- •Варианты заданий:
- •Варианты заданий:
- •Лабораторная работа №9.
- •Варианты заданий:
- •Варианты заданий:
- •Варианты заданий:
- •Варианты заданий:
- •Варианты заданий:
- •Лабораторная работа №10.
- •Варианты заданий:
- •Варианты заданий:
Лабораторная работа №7.
Цель: математические модели прикладных задач (распространение теплоты).
Задача 1: Согласно закону Ньютона, скорость охлаждения какого-либо тела в воздухе пропорциональна разности между температурой тела и температурой воздуха. Если температура воздуха равна , и тело в течение времени охлаждается от до , то через какое время температура его понизиться до .
Решение: Принцип изменения температуры тела, с учетом температуры окружающей среды описывается следующим равенством:
, (7.1)
где - температура тела в момент времени , - температура воздуха, - положительный коэффициент пропорциональности.
Для примерных расчетных данных, , , , , , при условии, что , , , имеем следующее:
, , , , . (*)
Из последнего равенства, определим постоянную , используя начальное условие, а именно, что в начальный момент времени температура изменяется с отметки , при моменте времени , тогда , . Подставляя найденное значение в два оставшихся условия, получаем следующую систему: . Найдем коэффициент пропорциональности . Сравнивая об уравнения системы, его удобно найти из первого уравнения: , , .
Подставляя найденный коэффициент пропорциональности в (*) и согласно поставленной задаче, определяем время , за которое температура тела понизится до отметки :
, , , , .
Варианты заданий:
1 вариант |
, , , , . |
2 вариант |
, , , , . |
3 вариант |
, , , , . |
4 вариант |
, , , , . |
5 вариант |
, , , , . |
6 вариант |
, , , , . |
7 вариант |
, , , , . |
8 вариант |
, , , , . |
9 вариант |
, , , , . |
10 вариант |
, , , , . |
11 вариант |
, , , , . |
12 вариант |
, , , , . |
13 вариант |
, , , , . |
14 вариант |
, , , , . |
15 вариант |
, , , , . |
Задача 2: Определить время совершения преступления и коэффициент пропорциональности температуры, если в момент обнаружения температура тела равнялась , а час спустя составляла (считать, что в момент смерти человека температура его тела равна , а температура воздуха ).
Решение: Используем равенство (7.1).
Тогда , и из равенства (7.1), разделяя переменные, получаем:
. (7.2)
Для примерных расчетных данных , , , , имеем следующее:
, , подставляя в (7.2), находим , , откуда - зависимость температуры с начального момента времени до изменений, связанных с ее изменением.
Теперь работаем с оставшимися двумя позициями температуры:
, , подставляем в полученную зависимость для температуры, , .
, , подставляем в полученную зависимость для температуры, , , .
Таким образом, получаем систему для последних полученных двух равенств: . (*)
Найдем составляющую . Для этого в последней системе уравнений поделим первое уравнение на второе почленно, , , .
Поскольку необходимо найти время совершения преступления в момент нахождения тела, то подставляя последнее в первое уравнение системы (*), имеем:
, , , .