Технологический институт южного федерального университета

Кафедра физики

ДОПУСК		ВЫПОЛНЕНИЕ
дата	подпись	дата	подпись

Студент: Завада А. Ю. _____________________группа: Э-60_

Работа № 401

Исследование затухающих колебаний

Таганрог 2011

1. Цель работы

Изучение свободных колебаний в колебательном контуре и опре­деление их основных характеристик.

2. Теоретическое введение

Параллельный колебательный контур представляет собой цепь, состоящую из емкости С и индуктивности L, соединенных параллельно. Здесь R представляет собой активное электрическое сопротивление. Колебания в электрическом контуре можно вызвать двумя способами: путем сообщения обкладкам конденсатора С некоторого начального заряда либо путем возбуждения в индуктивности L индукционного тока внешним магнитным полем.

Первоначальная энергия запасенная в контуре будет постепенно уменьшаться вследствие потерь на активном сопротивлении., и, следовательно, свободные колебания в контуре будут затухать с течением времени.

Дифференциальное уравнение, описывающее свободные затухающие колебания в контуре:

(401.1)

или

(401.2)

,где =R/2L - коэффициент затухания; - собственная частота контура без потерь (R = 0). При условии, что квадрат коэффициента затухания меньше квадрата собственной угловой частоты контура, решением уравнения 401.2 является функция:

(401.3)

Отсюда видно, что с течением времени заряд убывает по экспоненциальному закону, причем чем больше , тем быстрее затухают колебания в контуре. Учитывая, что напряжение на конденсаторе U = q/C и I = dq/dt, из 401.3 найдем:

(401.4)

(401.5)

Учитывая, что  == получим :

Данный контур имеет активное сопротивление R, следовательно колебания, создаваемые этим контуром, будут являться затухающими. Затухание колебаний принято характеризовать логарифмическим декрементом затухания

,

где Т - период колебания, А(t) - амплитуда N-ного колебания, А(t+Т) - амплитуда N+1-го колебания. Логарифмический декремент затухания обратен числу колебаний N_e, совершаемых за время, в течении которого амплитуда уменшается в e раз.

=

При и получим

, если затухание невелико, и тогда

Колебательный контур также характеризуют его добротностью Q, которая определяется, как величина, обратно пропорциональная логарифмическому декременту затухания:

Из этого следует, что добротность контура тем выше, чем большее число колебаний успевает совершиться прежде, чем амплитуда уменьшиться в e раз

В случае, слабого затухания

Амплитуда силы тока в контуре убывает по закону . Энергия W, запасенная в контуре, пропорциональна квадрату амплитуды силы тока (или квадрату амплитуды напряжения на конденсаторе); следовательно, W убывает по закону . Относительное уменьшение за период равно:

.

При незначительном затухании (т.е. при условии, что <<1) можно приближенно положить равным :

Наконец, заменив в этом выражении  через добротность контура Q в соответствии с формулой Q =  \  = N_e и решив полученное уравнение относительно Q получим:

Основные расчетные формулы:

 - время релаксации - время, за которое амплитуда колебаний уменьшается в "e" раз, рассчитывается по формуле:  = bT_х , где Т_х­ - цена деления развертки осциллографа,  - коэффициент затухания - численно равен обратной величине того промежутка времени , в течении которого амплитуда колебаний уменьшается в "е" раз.

(401.7)

 - логарифмический декремент затухания. Из 401.7 следует, что  / T = 1 и следовательно  = Т /  = 1 / N_e .

Q - добротность колебательного контура - потеря энергии в колебательном контуре за один период.

(401.11)

или же:

(401.12)

Период колебаний рассчитывается в трех-пяти местах как произведение длительности развертки на число делений масштабной сетки масштабной сетки между максимумами соседних колебаний.

Коэффициент затуханий рассчитывается по формуле:  = 1 /  .

Период собственных колебаний - по формуле:

(401.6)

Число колебаний (N) за время релаксации рассчитывается по осциллограмме.

Индуктивность и емкость контура рассчитывают по формулам:

и .