20

УКРАЇНА

БУКОВИНСЬКИЙ УНІВЕРСИТЕТ

Кафедра комп'ютерних систем i технологій

Напрям підготовки 0804 – Комп’ютерні науки

Спеціальність 7.080404 "Інтелектуальні системи прийняття рішень"

До захисту допущено

Завідувач кафедри _____________/А. В. Савицький/

"_______"_____________2011 р.

Рекурентний аналіз часових рядів в середовищі Maple

курсова робота

з предмету "Моделювання інформаційних процесів"

Студент _______________ Матьяш Є.І.

Науковий керівник _________________ Сопін М.О.

канд. фіз.-мат. наук, доц.

Чернівці – 2011

Зміст

ВСТУП 3

1. Аналіз часових рядів 4

1.1. Часові ряди 4

1.2. Рекурентний аналіз як метод дослідження часових рядів 5

2. Pекурентні портрети деяких динамічних систем 8

2.1. Побудова рекурентного портрету осцилятора в середовищі Maple 8

2.2. Побудова рекурентного портрету стохастичної системи в середовищі Maple 14

ВИСНОВКИ 19

ПЕРЕЛІК ВИКОРИСТАНИХ ДЖЕРЕЛ 20

ВСТУП

. Актуальність вивчення волатильності ринків безсумнівна. Метою даної курсової роботи було вивчення інформаційних характеристик ринку і, зокрема, його поведінки мемтодами стохастичних диференціальних рівнянь. Об’єктом дослідження є (опціонний) ринок. Предметом дослідження є запропонована модель ринку.

Для розв’язання поставленої задачі були застосовані методи теорії стохастичних диференціальних рівнянь, методи сучасної математичної статистики та теорії динамічних систем. Задача розв’язувалась в середовищі комп’ютерної алгебри „Maple” з використанням необхідних пакетів.

Курсова робота складається з огляду основної літератури з даного питання та аналізу отриманої математичної моделі.

У висновках сформульовано основні результати, що були отримані в даній курсовій роботі.

1. Аналіз часових рядів

1.1. Часові ряди

Часовий ряд – реалізація випадкового процесу, набір послідовних результатів спостереження.

Зазвичвй, метою прикладного статистичного аналізу часових рядів є побудова моделі ряду, за допомогою якої можна пояснити поведінку ряду і здійснити прогноз на майбутні періоди.

Аналіз часового ряду починається з побудови і вивчення його графіка. Якщо не стаціонарність часового ряду очевидна, то спочатку необхідно виокремити його нестаціонарну складову. Процес виокремлення тренду та інших компонент ряду, що призводять до порушення стаціонарності, може проходити в декілька етапів. На кожному з них розглядається ряд залишків, отриманий у результаті вирахування з вихідного ряду підібраної моделі тренду, або результат різницевих і інших перетворень ряду. Крім графіків, ознаками не стаціонарності часового ряду можуть служити автокореляційна функція, що прямує не до нуля (за винятком дуже великих значень лагів) і наявність яскраво виражених піків на низьких частотах у періодограммі. За допомогою автокореляційної функції досліджують також внутрішні зв'язки між елементами часових рядів.

У вибіркових дослідженнях найпростіші числові характеристики описової статистики (середнє, медіана, дисперсія, стандартне відхилення, коефіцієнти асиметрії й ексцесу) звичайно дають достатньо інформативне уявлення про вибірку. Графічні методи зображення й аналізу вибірок при цьому грають лише допоміжну роль, дозволяючи краще зрозуміти локалізацію і концентрацію даних, їхній закон розподілу.

Роль графічних методів при аналізі часових рядів цілком інша. Табличне представлення часового ряду й описових статистик частіше за все не дозволяє зрозуміти характер процесу, у той час як за графіком тимчасового ряду можна зробити досить багато висновків. Надалі вони можуть бути перевірені й уточнені за допомогою розрахунків.

Людське око досить упевнено визначає за графіком часового ряду:

1. наявність тренду і його характер;

2. наявність сезонних і циклічних компонент;

3. ступінь повільності або переривчастості змін послідовних значень ряду після усунення тренду (по цьому показнику можна судити про характер і розмір кореляції між сусідніми елементами ряду).

Так графічний аналіз ряду звичайно задає напрямок його подальшого аналізу.

1.2. Рекурентний аналіз як метод дослідження часових рядів

Процеси в природі володіють яскраво вираженою рекурентною поведінкою, таким, як періодичність або іррегулярна циклічність. Більше того, рекурентність (повторюваність) станів в сенсі проходження подальшої траєкторії достатньо близька до попередньої, є фундаментальною властивістю дисипативних динамічних систем. Цю властивість було відзначено ще в 80-х рр.. XIX століття французьким математиком Пуанкаре (Poincare) і згодом сформульовано у вигляді «теореми рекуррентністі», опублікованій в 1890 р.

Якщо система зводить свою динаміку до обмеженого підмножині фазового простору, то система майже напевно, то. з імовірністю, що практично дорівнює 1, як завгодно наближено повертається до якого-небудь наперед заданого режиму.

Суть цієї фундаментальнох властивості в тому, що, незважаючи на те, що навіть найменше обурення в складній динамічній системі може привести систему до експоненціального відхиленню від її стану. Через деякий час система прагне повернутися до стану, деяким чином близькому до попереднього, і проходить при цьому подібні етапи еволюції.

Переконатися в цьому можна за допомогою графічного зображення траєкторії системи у фазовому просторі. Проте можливості такого аналізу сильно обмежені. Як правило, розмірність фазового простору складної динамічної системи більше 3, що робить практично незручним його безпосередній розгляд. Єдина можливість - проекції в дво та тривимірному просторі, що часто не дає вірного уявлення про фазовий портрет.

У 1987 р. Екман (Eckmann) і співавтори запропонували спосіб відображення m-мірної фазової траєкторії станів системи x (t) довжиною N на двовимірну квадратну двійкову матрицю розміром NxN, в якій 1 (чорна точка) відповідає повторенню стану при деякому часу i в деякий інший час j, а обидві координатні осі є осями часу. Таке подання було названо рекуррентною діаграмою (recurrence plot, RP), так як вона фіксує інформацію про рекуррентну поведінку системи.

Математично вищесказане описується як:

R_i^m _,^ⁱ = Q(S_i - x_i-xj ), x g 9i^m, i,j = 1...N, (2)

де N- кількість розглянутих станів x_i, S_i –розмір околиці очки x в момент i,| • | - норма і © (•) – функція Хевісайда.

Непрактично і, як правило, неможливо виявити повну рекурентність в сенсі xi=xj (стан динамічної, а особливо хаотичної системи не повторюється повністю еквівалентно початкового стану, а підходить до нього як завгодно близько). Таким чином, рекуррентність визначається як достатньо наблиена стану xj до стану x_i. Іншими словами, рекуррентними є стани xj, потрапляючими в m-мірну місцевість з радіусом е_i и центром в x_i . Ці точки xj називаються рекуррентними точками (recurrence points)..

Оскільки Rii=1 (i=1 ...N) за визначенням, то рекуррентна діаграма завжди містить чорну діагональну лінію – лінію ідентичності, під кутом π4 до осей координат. Довільно взята рекурентна точка (i,j) не несе будь-якої корисної інформації про стани в часі i та j. Тільки вся сукупність рекурентних точок дозволяє відновити властивості системи.