3.2 Составные части и этапы синтеза математических моделей

Синтез математической модели включает три основные части: смысловую, аналитическую и вычислительную.

Смысловая часть называется формализованным описанием, которое представляет собой описание физической природы объекта.

Аналитическая часть называется математическим описанием. Математическое описание – это выражение формализованного описания в виде системы уравнений и функциональных соотношений между различными параметрами. Построение математического описания, т.е., структуры модели, являются структурной идентификацией модели.

Вычислительная часть называется моделирующим алгоритмом. Моделирующий алгоритм – это последовательность операций, которые необходимо выполнить над уравнениями математического описания для того, чтобы найти значение параметров математической модели (т.е. обеспечить возможность самого процесса моделирования). Нахождение значений параметров математической модели являются параметрической идентификацией модели.

Процесс математического моделирования включает три основных этапа.

На первом этапе осуществляется формализация изучаемого процесса, включающая выбор математического аппарата, выделение отдельных элементарных процессов и их математическое описание, получение системы уравнений или математического описания исследуемого процесса.

На втором этапе производится решение системы уравнений математического описание и создание алгоритма, позволяющего осуществить собственно процесс математического моделирования.

На третьем этапе устанавливается адекватность модели изучаемого объекта, т.е. проверка того, достаточно ли верно модель описывает качественно и количественно его свойства. Для этого сравнивают результаты измерений параметров системы с расчетными параметрами.

3.3 Виды математических моделей процессов

Виды математических моделей процессов, протекающих в технических системах, зависят от конкретных условий процессов и аппаратуры моделируемых объектов.

Если основные переменные процесса изменяются во времени и в пространстве или только в пространстве с размерностью  1, то необходима модель с распределёнными переменными (дифференциальные уравнения в частных производных).

Если основные переменные процесса изменяются только во времени, то нужна математическая модель с сосредоточенными параметрами (обыкновенные дифференциальные уравнения).

Модели бывают статическими и динамическими:

Статическая модель – это математическое описание процесса в установившемся режиме. Статическая модель типового процесса строится с учётом всех возможных режимов работы объекта.

Динамическая математическая модель – это математическое описание процесса во времени при переходе от одного режима к другому, т.е. устанавливается связь между основными переменными при изменении их во времени.

Сочетание статической и динамической моделей даёт полную математическую модель. Полная математическая модель включает основные переменные, связь между ними в статике, ограничения, критерий оптимальности, связи между основными переменными в динамике.

Математические модели классифицируются в зависимости от природы рассматриваемого явления (объекта). Они бывают жёсткие и вероятностные, аналитические жесткие, численные жесткие, аналитические вероятностные, численные вероятностные.

Жесткие модели (аналитические и численные) описывают детерминированные процессы без применения статистически вероятных распределений.

Вероятностные модели описывают стохастические процессы.

При построении жестких моделей используют классический инструментарий математики – дифференциальные уравнения, линейные разностные уравнения, интегральные уравнения и операторы для сведения их к алгебраическим моделям.

Вероятностные модели отражают, в основном, законы статистически вероятных распределений.

Наилучшие результаты получаются при сочетании этих моделей: детерминированная модель выявляет основные контуры явлений и намечает пути исследований, в которых уже «работают» статистические модели любой сложности.

При моделировании сложных процессов реальный процесс рассматривают как сочетание элементарных процессов, подчинённых закономерностям, описываемым определёнными математическими соотношениями. Элементарные процессы: массо- и теплопередача, физические и химические превращения, движение потоков вещества и другие. Однако многие системы настолько сложны, что невозможно, даже зная отдельные элементы процесса, связать их воедино. В таких случаях при анализе сложных процессов, когда нет возможности найти внутренние связи в системе, применяют приёмы принципа, получившего название «чёрного ящика». По этому принципу для математического описания процесса используют лишь зависимость выходных величин от входных.

«Чёрный ящик» используется для построения упрощённых моделей. Анализируя поведение такой модели в сравнении с поведением системы, можно сделать выводы о свойствах системы и при их совпадении со свойствами модели выбрать рабочую гипотезу о предполагаемом строении исследуемой системы моделирования, как при решении познавательных задач, так и при решении прикладных задач.

Математическое моделирование позволяет, не прибегая к дорогим и сложным экспериментам, изучать характеристики проектируемых и существующих процессов, оценивать различные варианты их аппаратурного оформления и, главное, отыскивать оптимальные решения.

Ещё раз отметим, что математическое моделирование не противопоставляется физическому. Они дополняют друг друга. Однако, возможности математического моделирования гораздо шире, чем у физического. А при различии и развитии средств вычислительной техники возможности математического моделирования многократно возрастают.