Метод Шелла

Эффективным усовершенствованием метода вставки является метод Шелла – прямое включение с убывающим шагом.

Метод состоит в том, что упорядочиваемая таблица разбивается на группы элементов (записей), каждая из которых упорядочивается методом вставки. В группу входят не непосредственные соседи, а записи, отстоящие друг от друга на заданное расстояние h (шаг группы). Таким образом, группой таблицы называют такую совокупность элементов, номера которых образуют арифметическую прогрессию с разностью h.

В начале процесса упорядочения выбирается первый шаг группы, который Шелл предложил брать в виде h₁=[n/2], где n – размер таблицы. Однако Хиббард показал, что сортировка дает лучшие результаты, если первый шаг будет степенью двойки: h₁=2^k-1, где 2^k <=n <2^k+1. Последующие шаги определяются по формуле: h_i = [h_i-1/2].

Таким образом, при каждом новом просмотре таблицы расстояние между элементами группы уменьшается, количество же элементов в группе увеличивается. На последнем просмотре шаг становится равным 1.

На ранних просмотрах элементы совершают большие скачки к нужным позициям, а не передвигаются на одну позицию, как в методе вставки. Это позволяет сократить число повторных сравнений и обменов на более поздних просмотрах. На последнем просмотре таблицы записи будут расположены близко к своим позициям, и, следовательно, не потребуют значительных перемещений при окончательном размещении.

Рассмотрим подробнее алгоритм метода.

После выбора h₁ методом вставки упорядочиваются группы, содержащие элементы с номерами позиций i, i+h₁, i+2*h₁, ..., i+m_i*h₁. При этом i=1,2,...,h₁ (не более h₁); m_i – наибольшее целое, удовлетворяющее неравенству i+m_i*h₁ <= n.

Затем выбирается шаг h₂ (h₂<h₁), и упорядочиваются группы, содержащие элементы с номерами позиций i, i+h₂, ..., i+m_i*h₂. Эта процедура со все уменьшающимися шагами продолжается до тех пор, пока очередной шаг h_l станет равным единице (h₁>h₂>...>h_l). Этот последний этап представляет собой упорядочение всей таблицы методом вставки. Но так как исходная таблица упорядочивалась отдельными группами с последовательным объединением этих групп, то общее количество сравнений значительно меньше, чем n²/4, требуемое при методе вставки. Число операций сравнения пропорционально n (log₂n)² .

Рассмотрим пример сортировки методом Шелла:

Номера позиций упорядочиваемой таблицы															Шаг
1	2	3	4	5	6	7	8	9	10	11	12	13	14	15
6	1	3	15	8	14	13	11	10	4	9	2	5	12	7	h=7
6	1	3	15	8	14	13	7	10	4	9	2	5	12	11
6	1	3	15	8	14	13	7	10	4	9	2	5	12	11
6	1	3	15	8	14	13	7	10	4	9	2	5	12	11
6	1	3	9	8	14	13	7	10	4	15	2	5	12	11
6	1	3	9	2	14	13	7	10	4	15	8	5	12	11
6	1	3	9	2	5	13	7	10	4	15	8	14	12	11
6	1	3	9	2	5	12	7	10	4	15	8	14	13	11	h=3
4	1	3	6	2	5	9	7	10	12	15	8	14	13	11
4	1	3	6	2	5	9	7	10	12	13	8	14	15	11
4	1	3	6	2	5	9	7	8	12	13	10	14	15	11	h=1
1	2	3	4	5	6	7	8	9	10	11	12	13	14	15