Полное ускорение при криволинейном движении

При движении по криволинейной траектории скорость точки может изменяться и по направлению, и по величине. Изменение скорости в единицу времени определяется ускорением.

Пусть точка М (рис.а) движется по какой-то криволинейной траектории и за время t переходит из положения М в положение M1. Расстояние, пройденное точкой, представляет собой дугу ММ1; ее длину обозначим s. В положении М точка имела скорость v, в положении M1 — скорость v1. Геометрическую разность скоростей найдем, построив из точки М вектор v1.

Скорость точки при перемещении ее из положения М в положение M1 изменилась и по величине, и по направлению. Среднее значение ускорения, характеризующего отмеченное изменение скорости можно найти, разделив вектор приращения скорости v на соответствующее время движения:

Переходя к пределу при t—»О получим истинное ускорение точки как векторную производную от скорости:

 

Найденное ускорение характеризует изменение численного значения скорости и ее направления. Для удобства ускорение раскладывают на взаимно перпендикулярные составляющие по касательной и нормали к траектории движения (рис.б)

Касательная составляющая совпадает по направлению со скоростью или противоположна ей. Она характеризует изменение модуля скорости и соответственно определяется как производная от функции скорости:

Нормальная составляющая перпендикулярна к направлению скорости точки. Она определяет изменение направления вектора скорости. Численное значение нормального ускорения определяется по формуле:

где r — радиус кривизны траектории в рассматриваемой точке.

Составляющие и взаимно перпендикулярны, и поэтому значение полного ускорения определяется по формуле:

Графики движения

Как известно из геометрии, положение точки в пространстве и его изменение можно описать двумя способами:

• Один из них требует введения понятия "радиус-вектор". Радиусом-вектором (r) называется направленный отрезок, соединяющий начало координат и точку с произвольными координатами. Положение точки в пространстве в заданной системе отсчета будет полностью определено, если известен r (его положение относительно осей координат и его размеры) (рис. 1).

• Второй способ описания местоположения точки связан с первым: точка может быть задана с помощью трех координат, которые в данном случае равны проекциям вектора на оси Ox; Oy; Oz (проекция вектора r на ось Ох обозначается r_х, на ось Оу - r_у, на ось Oz - r_z). Следует отличать проекции вектора от составляющих вектора.

Первый способ предполагает, что любое изменение положения точки должно описываться как результат сложения радиуса-вектора с его изменением (приращением). Этот способ связан с достаточно трудоемкой операцией сложения векторов по правилу параллелограмма.

Второй способ приводит к сложению алгебраических величин - координат, что является более привычной операцией.

Таким образом, оба способа описания положения точки в пространстве однозначно связаны между собой, но в школьном курсе при решении задач предпочтение отдается координатному методу (хотя есть ряд задач повышенной трудности, решить которые можно только с помощью векторного подхода).

Заметим, что Государственным стандартом введены следующие обозначения:

• r - векторная величина (в данном случае радиус-вектор);

• |r| - ее модуль;

• r_х - проекция вектора r на ось х.

При этом нетрудно доказать, что модуль вектора будет равен

Рассмотрим, как меняется радиус-вектор при движении точки в пространстве.

Пусть в момент времени t₀ = 0 точка А имеет координаты х₀, у₀, z₀, (что соответственно описывается радиусом-вектором r₀), а по истечении некоторого промежутка времени t₁ материальная точка переместилась в точку В, ее координаты стали равными x₁, у₁, z₁ (что соответственно описывается радиусом-вектором r₁) (рис. 2).

Для того чтобы рассчитать, как изменилась величина, необходимо вычесть из ее нового значения предыдущее, то есть дельта r = r₁ - r₀ . Эту величину называют перемещением. Нетрудно заметить, что для координат это изменение можно записать следующим образом:

Отсюда следует:

Следовательно, для того чтобы определить местоположение точки через какой-то промежуток времени t₁, необходимо знать начальный радиус-вектор и перемещение за промежуток времени t₁. Эта же задача может быть решена, если известны начальные координаты и их приращение за промежуток времени t₁

Очень важно отметить, что перемещение чаще всего не совпадает с траекторией, поэтому модуль перемещения отличается от пройденного пути (за исключением того случая, когда траектория точки есть прямая линия) (см. рис. 2).

Перемещение показывает, на какое расстояние и в каком направлении точка сместилась при своем движении. Однако эта величина не позволяет оценить характер движения. Для этого необходимо ввести еще одну величину, характеризующую быстроту движения. Такой величиной является средняя скорость (v_ср), которая показывает, как быстро в среднем перемещалась точка:

где v_ср - средняя скорость; дельта r- перемещение; дельта t - промежуток времени, за который перемещение произошло.

В Международной системе единиц (СИ) модуль скорости измеряется в м/с. В практике применяются и другие единицы: км/ч; см/с и т. д.

Знания средней скорости недостаточно для подробного описания движения. Средняя скорость позволяет тем точнее описывать процесс движения, чем за меньший промежуток времени рассматривается перемещение точки.

При стремлении дельта t к нулю дробь дельта r/ дельта t будет стремиться к некоторому значению средней скорости, характеризующему движение материальной точки, вблизи которой был взят малый интервал времени дельта t и соответственно малое изменение вектора перемещения дельта r.

Это значение, т. е. предел, к которому стремится дробь дельта r/ дельта t при стремлении дельта t к нулю, называют мгновенной скоростью в данной точке или в данный момент времени и обозначают v:

Так как дельта t - скалярная величина, то направление скорости совпадает с направлением вектора перемещения. Если дельта r стремится к нулю, то нетрудно увидеть, что направление мгновенной скорости в точке траектории совпадает с касательной (рис. 3).

Итак, вектор v скорости точки направлен по касательной к траектории точки в сторону ее перемещения. Модуль вектора скорости v характеризует быстроту перемещения точки по траектории.

Прибор, которым измеряют скорость, называется спидометром.

Любой вектор можно разложить на его составляющие, при этом следует выполнить требование: векторная сумма составляющих вектора должна быть равна вектору, который подлежал разложению.

На рис. 4, а и б изображены векторы и их составляющие. Напомним, что проекция вектора на ось - алгебраическая величина, численно равна произведению модуля вектора на косинус угла между вектором и осью (при этом в трехмерном пространстве рассматривается угол между плоскостью, которая проходит через вектор, и интересующей нас осью). Рассмотрим пример в двухмерном пространстве: если вектор r расположен на плоскости хОу, то его проекция на ось Ох равна r_x = r*cosa (рис. 5).

Вектор скорости с течением времени может изменяться: либо его модуль, либо направление, либо то и другое. Для характеристики быстроты изменения скорости движущейся точки вводится понятие ускорения. Ускорение (а) - векторная величина. Оно равно отношению изменения скорости к промежутку времени, за которое это изменение произошло:

Если выбирать все меньшие и меньшие промежутки времени, то а_ср будет более точно описывать характер изменения скорости точки, и в пределе можно получить мгновенное ускорение точки, которое будет направлено туда же, куда направлен вектор изменения скорости дельта v.

Отметим, что ускорение направлено в сторону изменения скорости, но не в сторону самой скорости. Например, при движении брошенного вверх тела скорость направлена вверх, но она убывает, при этом изменение скорости направлено вниз. Следовательно, и ускорение направлено в этом случае вниз. Оно носит название ускорения свободного падения (обозначение g).

Ускорение измеряется в Международной системе единиц (СИ) в 1 м/с². Физический смысл единицы ускорения: 1 м/с² - это такое ускорение, при котором за 1 с скорость изменяется на 1 м/с при условии, что ускорение в этот промежуток времени остается постоянным.

Ускорение измеряется прибором, который называется акселерометром

определение вращательного и поступательного движения

1) вращательное движение вокруг оси — движение твёрдого тела, при котором какие-нибудь две его точки А. и В остаются всё время неподвижными (см. рис.). Прямая AB, проходящая через эти точки, называется осью вращения; все точки тела при В. д. описывают окружности в плоскостях, перпендикулярных к оси вращения, и с центрами, лежащими на этой оси. Тело, совершающее В. д., имеет одну степень свободы и его положение определяется углом φ между проведёнными через ось вращения неподвижной полуплоскостью и полуплоскостью, жёстко связанной с телом и вращающейся вместе с ним. Основные кинематические характеристики В. д. тела — его угловая скорость ω и угловое ускорение ε. Для любой точки тела, отстоящей от оси на расстоянии h, линейная скорость v = hω, касательное ускорение w_τ = hω, нормальное ускорение w_n = hω² и полное ускорение

Основными динамическими характеристиками В. д. тела являются его кинетический момент относительно оси вращения K_z = I_zω (см. Момент количества движения) и кинетическая энергия Т = ¹/₂ I_zω², где I_z — момент инерции тела относительно оси вращения. Закон вращения определяется из основного уравнения I_z ε = M_z, где M_z — вращающий момент (см. Момент силы).

2) Вращательное движение вокруг точки (или сферическое движение) — движение твёрдого тела, при котором какая-то одна его точка О остаётся неподвижной, а все другие точки движутся по поверхности сфер, имеющих центр в точке О. При таком В. д. тела любое его элементарное перемещение представляет собой элементарный поворот вокруг некоторой оси, проходящей через точку О и называется мгновенной осью вращения. Со временем эта ось, в отличие от неподвижной, непрерывно изменяет своё направление. В результате В. д. тела слагается из серии элементарных поворотов вокруг непрерывно меняющих своё направление мгновенных осей. Пример такого В. д. тела даёт движение гироскопа.

Поступательное движение — это механическое движение системы точек (тела), при котором любой отрезок прямой, связанный с движущимся телом, форма и размеры которого во время движения не меняются, остается параллельным своему положению в любой предыдущий момент времени.^[1]

Приведённая иллюстрация показывает, что, в отличие от распространённого утверждения ^[2]. поступательное движение не является противоположностью движению вращательному, а в общем случае может рассматриваться как совокупность поворотов — не закончившихся вращений. При этом подразумевается, что прямолинейное движение есть поворот вокруг бесконечно удалённого от тела центра поворота.

В общем случае поступательное движение происходит в трёхмерном пространстве, но его основная особенность — сохранение параллельности любого отрезка самому себе, остаётся в силе.

Математически поступательное движение по своему конечному результату эквивалентно параллельному переносу.Однако, рассматриваемое как физический процесс оно представляет собой в трёхмерном пространстве вариант винтового движения