Момент инерции

Момент инерции — скалярная физическая величина, мера инертности тела во вращательном движении вокруг оси, подобно тому, как масса тела является мерой его инертности в поступательном движении. Характеризуется распределением масс в теле: момент инерции равен сумме произведений элементарных масс на квадрат их расстояний до базового множества (точки, прямой или плоскости).

Единица измерения СИ: кг·м².

Обозначение: I или J.

Моменты инерции однородных тел простейшей формы относительно некоторых осей вращения Тело Описание Положение оси a Момент инерции J_a Материальная точка массы m На расстоянии r от точки, неподвижная Полый тонкостенный цилиндр или кольцо радиуса r и массы m Ось цилиндра Сплошной цилиндр или диск радиуса r и массы m Ось цилиндра Полый толстостенный цилиндр массы m с внешним радиусом r₂ и внутренним радиусом r₁ Ось цилиндра Сплошной цилиндр длины l, радиуса r и массы m Ось перпендикулярна к цилиндру и проходит через его середину Полый тонкостенный цилиндр (кольцо) длины l, радиуса r и массы m Ось перпендикулярна к цилиндру и проходит через его середину Прямой тонкий стержень длины l и массы m Ось перпендикулярна к стержню и проходит через его середину Прямой тонкий стержень длины l и массы m Ось перпендикулярна к стержню и проходит через его конец Тонкостенная сфера радиуса r и массы m Ось проходит через центр сферы Шар радиуса r и массы m Ось проходит через центр шара Конус радиуса r и массы m Ось конуса

Теорема Гюйгенса-Штейнера

Основная статья: Теорема Штейнера

Момент инерции твёрдого тела относительно какой-либо оси зависит не только от массы, формы и размеров тела, но также от положения тела по отношению к этой оси. Согласно теореме Штейнера (теореме Гюйгенса-Штейнера), момент инерции тела J относительно произвольной оси равен сумме момента инерции этого тела J_c относительно оси, проходящей через центр масс тела параллельно рассматриваемой оси, и произведения массы тела m на квадрат расстояния d между осями:

Если  — момент инерции тела относительно оси, проходящей через центр масс тела, то момент инерции относительно параллельной оси, расположенной на расстоянии от неё, равен

,

где  — полная масса тела.

Например, момент инерции стержня относительно оси, проходящей через его конец, равен: