-
Теорема об изменении кинетической энергии
Теорема об изменении кинетической энергии механической энергии связывает между собой кинетическую энергию, являющуюся интегральной мерой движения системы, и работу приложенных к телам системы сил.
Кинетическая энергия материальной точки определяется по известной формуле
.
Следует обратить внимание на то, что в этой формуле имеется в виду скорость точки в неподвижной системе отсчета, поэтому в том случае, когда точка совершает сложное движение надо учитывать обе составляющие скорости:
.
Кинетическая энергия механической системы определяется как сумма кинетических энергий всех точек и тел, входящих в рассматриваемую систему. По определению кинетическая энергия есть величина неотрицательная.
При вычислении кинетической энергии механической системы и твердого тела часто оказывается полезной теорема Кенига: кинетическая энергия механической системы равна сумме кинетической энергии, которой обладает материальная точка с массой, равной массе всей системы, и скоростью, равной скорости центра масс системы, и кинетической энергии, которую имеет система в своем движении вокруг центра масс
.
Способы вычисления кинетической энергии твердого тела зависят от вида движения.
1. Поступательное движение тела
,
где V - скорость поступательного движения.
2. Вращение тела вокруг неподвижной оси
,
где Iz - момент инерции тела относительно оси вращения;
-
угловая скорость вращения.
3. Плоско-параллельное движение тела: кинетическая энергия определяется по теореме Кенига, как сумма кинетической энергии поступательного движения вместе с центром масс и энергии вращения вокруг оси, проходящей через центр масс:
,
где Vс - скорость центра масс тела;
- момент инерции тела относительно
оси z, проходящей через центр масс тела;
- угловая скорость тела.
4. Сферическое движение тела в каждый данный момент времени можно рассматривать как вращение вокруг мгновенной оси вращения, поэтому
,
где
- момент инерции тела относительно
мгновенной оси вращения,
-
мгновенная угловая скорость вращения.
5. Движение свободного твердого тела складывается из поступательного движения вместе с центром масс и сферического движения вокруг мгновенной оси вращения, проходящей через центр масс. Его кинетическая энергия по теореме Кенига равна
где Vc - скорость центра масс тела;
-
момент инерции тела относительно
мгновенной оси вращения, проходящей
через центр масс тела;
-
мгновенная угловая скорость тела.
Работа постоянной силы при прямолинейном перемещении точки приложения силы есть скалярная величина, равная
,
где 
- вектор силы;
-
вектор перемещения точки приложения
силы;
-
угол между направлением силы и перемещения.
Для вычисления работы сил и моментов сил в наиболее распространенных случаях можно использовать следующие формулы.
1. Работа силы тяжести
,
где HC - вертикальное перемещение центра тяжести тела.
Работа силы тяжести положительна, если центр тяжести опускается вниз, отрицательна, если он поднимается, и равна нулю, если в начальном и конечном положениях центр тяжести оказывается в одной и той же горизонтальной плоскости.
2. Работа силы, приложенной к вращающемуся телу определяется моментом Mz этих сил относительно оси вращения
,
где
- начальное и конечное значения угла
поворота;
Если Mz = const , то
.
3. Работа силы упругости
,
где C - коэффициент жесткости пружины;
и
- начальная и конечная деформации
пружины.
Теорема об изменении кинетической энергии механической системы может быть записана в двух формах: интегральной и дифференциальной.
Интегральная форма: изменение кинетической энергии на некотором перемещении системы равно сумме работ всех внешних и внутренних сил, приложенных к рассматриваемой системе на этом перемещении
,
где T1 , T2 -кинетическая энергия системы в начальном и в конечном положениях;
Ae , Ai -работа внешних и внутренних сил, приложенных к данной системе, на рассматриваемом перемещении.
Дифференциальная
форма:
элементарное изменение кинетической
энергии системы dT при ее бесконечно
малом перемещении равно сумме элементарных
работ всех внешних
и внутренних
сил, приложенных к данной системе
.
Если полученное выражение отнести к элементарному промежутку времени, в течение которого произошло рассматриваемое перемещение, можно получить вторую формулировку для дифференциальной формы теоремы: производная по времени от кинетической энергии механической системы равна сумме мощностей всех внешних ( Ne ) и внутренних ( Ni ) сил, т.е.
.
Дифференциальными формами теоремы об изменении кинетической энергии можно воспользоваться для составления дифференциальных уравнений движения, но это делается достаточно редко, потому что есть более удобные приемы. Для систем, силы в которых остаются постоянными или зависят только от перемещений, интегральную форму теоремы часто используют, чтобы найти зависимость скорости от перемещения.
Механическая система называется консервативной, если для нее имеет место интеграл энергии
или
(
2.7 )
Механическая система будет консервативной, если действующие на нее силы потенциальны, например сила тяжести, силы упругости. В консервативных механических системах с помощью интеграла энергии можно проводить проверку правильности составления дифференциальных уравнений движения. Если система консервативна, а условие ( 2.7 ) не выполняется, значит при составлении уравнений движения допущена ошибка.
Интегралом энергии можно воспользоваться для проверки правильности составления уравнений и другим способом, без вычисления производной. Для этого следует после проведения численного интегрирования уравнений движения вычислить значение полной механической энергии для двух различных моментов времени, например, начального и конечного. Если разница значений окажется сопоставимой с погрешностями вычислений, это будет свидетельствовать о правильности используемых уравнений.