- •Министерство образования Российской Федерации Санкт-Петербургский государственный горный университет
- •Введение
- •Расчетные формулы
- •Построение эмпирических формул методом наименьших квадратов
- •Линеаризация экспоненциальной зависимости
- •Элементы теории корреляции
- •Расчет коэффициентов аппроксимации в Microsoft Excel
- •Построение графиков в Excel
- •Результаты вычислений в MathCad
- •Построение графиков в MathCad
- •Заключение
-
Расчет коэффициентов аппроксимации в Microsoft Excel
Таблица
1
Исходные данные.
i |
xi |
yi |
1 |
0,1 |
0,56 |
2 |
0,28 |
1,05 |
3 |
0,87 |
2,87 |
4 |
1,65 |
6,43 |
5 |
1,99 |
8,96 |
6 |
2,08 |
8,08 |
7 |
2,34 |
9,11 |
8 |
2,65 |
16,86 |
9 |
2,77 |
17,97 |
10 |
2,83 |
18,99 |
11 |
3,06 |
23,75 |
12 |
3,33 |
29,43 |
13 |
3,41 |
37,45 |
14 |
3,55 |
42,44 |
15 |
3,85 |
56,94 |
16 |
4,01 |
75,08 |
17 |
4,23 |
82,44 |
18 |
4,53 |
90,85 |
19 |
4,92 |
99,06 |
20 |
5,14 |
120,45 |
21 |
5,23 |
139,65 |
22 |
5,55 |
167,54 |
23 |
6,32 |
200,45 |
24 |
6,66 |
212,97 |
25 |
7,13 |
275,74 |
Функция y=f(x) задана таблицей 1
Задача.
Необходимо выявить, какая из функций (линейная, квадратичная или экспоненциальная) наилучшим образом аппроксимирует функцию заданную таблицей 1.
Решение.
Для выяснения этого вопроса аппроксимируем данные эмпирические данные всеми тремя способами, вычислим параметры аппроксимации, сравним их значения и выберем наиболее подходящий вид зависимость, наиболее точно описывающий исходные пары значений Х и У.
Линейная аппроксимация:
Вычисления производим по следующим инструкциям:
1. В ячейки B2:B26 заносим значения .
2. В ячейки C2:C26 заносим значения .
3. В ячейку D2 вводим формулу «=B2^2».
4. В ячейки D3:D26 копируем эту формулу.
5. В ячейку E2 вводим формулу «=B2*C2».
6. В ячейки E3:E26. копируем эту формулу.
7. В ячейку F2 вводим формулу «=B2^3».
8. В ячейки F3:F26 копируем эту формулу.
9. В ячейку G2 вводим формулу «=B2^4»
10. В ячейки G3:G26 копируем эту формулу.
11. В ячейку H2 вводим формулу «=D2*C2».
12. В ячейки H3:H26 копируем эту формулу.
11. В ячейку I2 вводим формулу =LN(C2).
12. В ячейки I3:I26 копируем эту формулу.
13. В ячейку J2 вводим формулу =B2*LN(C2).
14. В ячейки I3:I26 копируем эту формулу.
15. В ячейку B27 вводим формулу =СУММ(B2:B26).
16. В ячейку C27 вводим формулу =СУММ(C2:C26).
17. В ячейку D27 вводим формулу =СУММ(D2:D26).
18. В ячейку E27 вводим формулу =СУММ(E2:E26).
19. В ячейку F27 вводим формулу =СУММ(F2:F26).
20. В ячейку G27 вводим формулу =СУММ(G2:G6).
21. В ячейку H27 вводим формулу =СУММ(H2:H26).
22. В ячейку I27 вводим формулу =СУММ(I2:I26).
23. В ячейку J27 вводим формулу =СУММ(J2:J26).
П
Таблица
2
Результаты вычислений линейной аппроксимации
i |
xi |
yi |
xi2 |
xiyi |
xi3 |
xi4 |
xi2yi |
ln yi |
xiln yi |
1 |
0,1 |
0,56 |
0,010 |
0,056 |
0,001 |
0,000 |
0,006 |
-0,580 |
-0,058 |
2 |
0,28 |
1,05 |
0,078 |
0,294 |
0,022 |
0,006 |
0,082 |
0,049 |
0,014 |
3 |
0,87 |
2,87 |
0,757 |
2,497 |
0,659 |
0,573 |
2,172 |
1,054 |
0,917 |
4 |
1,65 |
6,43 |
2,723 |
10,610 |
4,492 |
7,412 |
17,506 |
1,861 |
3,071 |
5 |
1,99 |
8,96 |
3,960 |
17,830 |
7,881 |
15,682 |
35,482 |
2,193 |
4,364 |
6 |
2,08 |
8,08 |
4,326 |
16,806 |
8,999 |
18,718 |
34,957 |
2,089 |
4,346 |
7 |
2,34 |
9,11 |
5,476 |
21,317 |
12,813 |
29,982 |
49,883 |
2,209 |
5,170 |
8 |
2,65 |
16,86 |
7,023 |
44,679 |
18,610 |
49,316 |
118,399 |
2,825 |
7,486 |
9 |
2,77 |
17,97 |
7,673 |
49,777 |
21,254 |
58,873 |
137,882 |
2,889 |
8,002 |
10 |
2,83 |
18,99 |
8,009 |
53,742 |
22,665 |
64,142 |
152,089 |
2,944 |
8,331 |
11 |
3,06 |
23,75 |
9,364 |
72,675 |
28,653 |
87,677 |
222,386 |
3,168 |
9,693 |
12 |
3,33 |
29,43 |
11,089 |
98,002 |
36,926 |
122,964 |
326,346 |
3,382 |
11,262 |
13 |
3,41 |
37,45 |
11,628 |
127,705 |
39,652 |
135,213 |
435,472 |
3,623 |
12,354 |
14 |
3,55 |
42,44 |
12,603 |
150,662 |
44,739 |
158,823 |
534,850 |
3,748 |
13,306 |
15 |
3,85 |
56,94 |
14,823 |
219,219 |
57,067 |
219,707 |
843,993 |
4,042 |
15,562 |
16 |
4,01 |
75,08 |
16,080 |
301,071 |
64,481 |
258,570 |
1207,294 |
4,319 |
17,317 |
17 |
4,23 |
82,44 |
17,893 |
348,721 |
75,687 |
320,156 |
1475,091 |
4,412 |
18,663 |
18 |
4,53 |
90,85 |
20,521 |
411,551 |
92,960 |
421,107 |
1864,324 |
4,509 |
20,427 |
19 |
4,92 |
99,06 |
24,206 |
487,375 |
119,095 |
585,950 |
2397,886 |
4,596 |
22,611 |
20 |
5,14 |
120,45 |
26,420 |
619,113 |
135,797 |
697,995 |
3182,241 |
4,791 |
24,627 |
21 |
5,23 |
139,65 |
27,353 |
730,370 |
143,056 |
748,181 |
3819,832 |
4,939 |
25,832 |
22 |
5,55 |
167,54 |
30,803 |
929,847 |
170,954 |
948,794 |
5160,651 |
5,121 |
28,423 |
23 |
6,32 |
200,45 |
39,942 |
1266,844 |
252,436 |
1595,395 |
8006,454 |
5,301 |
33,500 |
24 |
6,66 |
212,97 |
44,356 |
1418,380 |
295,408 |
1967,419 |
9446,412 |
5,361 |
35,705 |
25 |
7,13 |
275,74 |
50,837 |
1966,026 |
362,467 |
2584,390 |
14017,767 |
5,619 |
40,067 |
n |
88,480 |
1745,120 |
397,950 |
9365,168 |
2016,772 |
11097,046 |
53489,458 |
84,464 |
370,990 |
|
xi |
yi |
xi2 |
xiyi |
xi3 |
xi4 |
xi2yi |
ln yi |
xiln yi |
Аппроксимируем функцию линейной функцией . Для определения коэффициентов и воспользуемся системой
Расчет параметров линейной аппроксимации |
|
Таблица
3 |
||||
Матрица системы |
Правая часть |
|
Решение |
|||
25,000 |
88,480 |
1745,120 |
|
a1 |
-63,282 |
|
88,480 |
397,950 |
9365,168 |
|
a2 |
37,604 |
В таблице 3 в ячейках G31:G32 записана формула {=МУМНОЖ(МОБР(C31:D32); E31:E32)}
Таким образом, линейная аппроксимация имеет вид y = 37,604x – 63,282.
Квадратичная аппроксимация:
Аппроксимируем функцию квадратичной функцией . Для определения коэффициентов , и воспользуемся системой
Таблица
4
Расчет параметров квадратичной аппроксимации |
|||||
Матрица системы |
Правая часть |
Решение |
|||
25,000 |
88,480 |
397,950 |
1745,120 |
a1 |
4,119 |
88,480 |
397,950 |
2016,772 |
9365,168 |
a2 |
-13,446 |
397,950 |
2016,772 |
11097,046 |
53489,458 |
a3 |
7,116 |
В таблице 4 в ячейках H38:H40 записана формула {=МУМНОЖ(МОБР(C38:E40); F38:F40)}.
Таким образом, квадратичная аппроксимация имеет вид y = 7,116x2 – 13.446x + 4,119.
Экспоненциальная аппроксимация:
Аппроксимируем функцию экспоненциальной функцией . Для определения коэффициентов , и воспользуемся системой
Таблица 5
Расчет параметров экспоненциальной аппроксимации |
|||||
Матрица системы |
Правая часть |
|
Решение |
||
25,000 |
88,480 |
84,464 |
|
с |
0,371 |
88,480 |
397,950 |
370,990 |
|
a2 |
0,850 |
|
|
|
|
a1 |
1,450 |
В таблице 5 в ячейках G46:G47 записана формула {=МУМНОЖ(МОБР(C46:D47);E46:E47)}.В ячейке G48 записана формула {=EXP(G46)}.
Таким образом, экспоненциальная аппроксимация имеет вид y = .
Вычисление коэффициентов корреляции и детерминированности:
Таблица
6
i |
xi |
yi |
Xi-Xcp |
Yi-Ycp |
(Xi-Xcp)^2 |
(Yi-Ycp)^2 |
(Xi-Xcp)(Yi-Ycp) |
||
1 |
0,1 |
0,56 |
-3,439 |
-69,245 |
11,828 |
4794,842 |
238,147 |
||
2 |
0,28 |
1,05 |
-3,259 |
-68,755 |
10,622 |
4727,223 |
224,086 |
||
3 |
0,87 |
2,87 |
-2,669 |
-66,935 |
7,125 |
4480,267 |
178,662 |
||
4 |
1,65 |
6,43 |
-1,889 |
-63,375 |
3,569 |
4016,365 |
119,728 |
||
5 |
1,99 |
8,96 |
-1,549 |
-60,845 |
2,400 |
3702,090 |
94,261 |
||
6 |
2,08 |
8,08 |
-1,459 |
-61,725 |
2,129 |
3809,951 |
90,069 |
||
7 |
2,34 |
9,11 |
-1,199 |
-60,695 |
1,438 |
3683,859 |
72,785 |
||
8 |
2,65 |
16,86 |
-0,889 |
-52,945 |
0,791 |
2803,152 |
47,079 |
||
9 |
2,77 |
17,97 |
-0,769 |
-51,835 |
0,592 |
2686,846 |
39,871 |
||
10 |
2,83 |
18,99 |
-0,709 |
-50,815 |
0,503 |
2582,144 |
36,038 |
||
11 |
3,06 |
23,75 |
-0,479 |
-46,055 |
0,230 |
2121,045 |
22,069 |
||
12 |
3,33 |
29,43 |
-0,209 |
-40,375 |
0,044 |
1630,124 |
8,446 |
||
13 |
3,41 |
37,45 |
-0,129 |
-32,355 |
0,017 |
1046,833 |
4,180 |
||
14 |
3,55 |
42,44 |
0,011 |
-27,365 |
0,000 |
748,832 |
-0,296 |
||
15 |
3,85 |
56,94 |
0,311 |
-12,865 |
0,097 |
165,503 |
-3,998 |
||
16 |
4,01 |
75,08 |
0,471 |
5,275 |
0,222 |
27,828 |
2,484 |
||
17 |
4,23 |
82,44 |
0,691 |
12,635 |
0,477 |
159,648 |
8,728 |
||
18 |
4,53 |
90,85 |
0,991 |
21,045 |
0,982 |
442,900 |
20,852 |
||
19 |
4,92 |
99,06 |
1,381 |
29,255 |
1,907 |
855,867 |
40,396 |
||
20 |
5,14 |
120,45 |
1,601 |
50,645 |
2,563 |
2564,936 |
81,073 |
||
21 |
5,23 |
139,65 |
1,691 |
69,845 |
2,859 |
4878,352 |
118,094 |
||
22 |
5,55 |
167,54 |
2,011 |
97,735 |
4,043 |
9552,169 |
196,526 |
||
23 |
6,32 |
200,45 |
2,781 |
130,645 |
7,733 |
17068,168 |
363,298 |
||
24 |
6,66 |
212,97 |
3,121 |
143,165 |
9,739 |
20496,274 |
446,790 |
||
25 |
7,13 |
275,74 |
3,591 |
205,935 |
12,894 |
42409,307 |
739,472 |
||
Среднее |
3,539 |
69,805 |
|
Сумма: |
84,802 |
141454,527 |
3188,839 |
Таблица 6 составляется по следующим инструкциям:
1. В ячейку L2 вводим формулу {=(B2-$D$52)*(C2-$D$53)}
2. В ячейки L3:L26 копируем эту формулу.
3. В ячейку M2 вводим формулу {=(B2-$D$52)^2}
4. В ячейки M3:M26 копируем эту формулу.
5. В ячейку N2 вводим формулу {=(C2-$D$53)^2}
6. В ячейки N3:N26 копируем эту формулу.
7. В ячейку O2 вводим формулу {=($G$31+$G$32*B2-C2)^2}
8. В ячейки O3:O26 копируем эту формулу.
9. В ячейку P2 вводим формулу {=($H$38+$G$47*B2+$H$40*D2-C2)^2}
10. В ячейки P3:P26 копируем эту формулу.
11. В ячейку Q2 вводим формулу {=($G$48*EXP($G$47*B2)-C2)^2}
12. В ячейки Q3:Q26 эта формула копируется.
13. В ячейку L27 вводим формулу =СУММ(L2:L26).
14. С помощью функции автозаполнения протягиваем эту формулу на ячейки M27-N27
15. В ячейки M27:Q27 копируем эту формулу.
16. В ячейку B2 вводим формулу =СРЗНАЧ(B2:B26)
17. В ячейку В3 вводим формулу =СРЗНАЧ(C2:C26)
Для линейной аппроксимации находим коэффициент корреляции согласно формуле:
18. В Ячейку В2 вводим формулу =H27/(КОРЕНЬ(F27)*КОРЕНЬ(G27)).
19. Для проверки полученного значения используем встроенную функцию =КОРРЕЛ(B2:B26;C2:C26)
Для вычисления коэффициентов детерминированности составим таблицу 7, пользуясь вышеуказанными инструкциями.
Далее применим следующие формулы:
- сумма квадратов отклонений теоретических значений функции от эмпирических данных.
- регрессионная сумма квадратов.
и с помощью этой величины определим коэффициент детерминированности:
В таблице 8 приведены результаты расчетов по приведенным выше формулам.
Таблица
8
Расчет вспомогательных коэффициентов детерминированности
Sполн(лин) |
Sполн(квадр) |
Sполн(эксп) |
242691,239 |
247198,715 |
296446,562 |
В таблице 9 приведены конечные результаты вычислений коэффициентов детерминированности.
Таблица
9
Итоговая таблица результатов вычисления коэффициентов детерминированности
R^2 (лин) |
0,394 |
R (лин) |
0,627 |
|
|
R^2 (квад) |
0,319 |
R (квад) |
0,565 |
|
|
R^2 (эксп) |
0,304 |
R (эксп) |
0,552 |