![](/user_photo/2706_HbeT2.jpg)
- •1 Производная функции
- •1.2 Основные формулы дифференцирования
- •1.3 Дифференцирование сложных функций, состоящих из нескольких звеньев
- •1.4 Дифференцирование неявных функций
- •2 Логарифмическое дифференцирование
- •4 Производные высших порядков
- •5 Определение дифференциала функции
- •Расчетные задания Задание № 1
- •Задание № 2
- •Задание № 3
- •Задание №4
- •Задание №5
- •Задание №6
- •Задание №7
- •Задание №8
- •Задание №9
- •Задание №10
- •Задание №11
- •Задание №12
- •Задание № 13
- •Задание № 14
- •Задание № 15
- •Задание № 16
- •Задание № 17
2 Логарифмическое дифференцирование
П.1 Пусть требуется найти производную y′ функции y = f(x) (*). Если f(x) есть выражение удобное для логарифмирования, то во многих случаях представляется целесообразным сначала прологарифмировать по основанию е обе части равенства (*) и затем только продифференцировать.
Производная от натурального логарифма функции у, то есть
(ln
y)′
=
y′
называется логарифмической производной функции у. Дифференцирование основанное на предварительном нахождении логарифмической производной
(lny)′ и затем искомой производной y′, называется логарифмическим дифференцированием.
Пользуясь способом логарифмического дифференцирования найти производную указанных функций:
108.
y
= x
Решение: Логарифмируя обе части равенства будем иметь
ln
y = ln x +
ln x2
-
ln (x2+1)
=
=
ln x +
ln (x2
+ 1)
или
ln
y =
ln x -
ln (x2
+ 1)
Дифференцируя обе части полученного равенства, будем иметь
y′
=
-
y′
=
=
Откуда
y′
=
y
=
.
Пользуясь способом логарифмического дифференцирования найти производные указанных функций:
109.
y =
110. y = x3
111.
y =
112. y =
113.
y =
114. y =
115.
y = x6
(x3+1)10(x3+1)
116. y = ln
117.
y
=
118. y
= (x+
)6
П.2. Функция вида у = uv , где u и v – функции аргумента х называется сложно - показательной функцией. Способ логарифмического дифференци-рования позволяет найти производную функции вида у = uv.
Решение: Логарифмируя обе части равенства по аргументу х, получим
y′
= cos x ln (x+1)+sin x
Откуда
y′
= y[cos x ln (x+1)+sin x ]
или
y′=
(x+1)sin
x[cos
x ln (x+1)+sin x ]
Найти y′, применяя метод логарифмического дифференцирования:
120.
y = (1+x2
121. y = xx
122. y = (cos x)sin x 123. y = (tg x)ctg x
124. y = (1-x2)arcos x 125. y = (arctg x)arcsin x
126.
y = (ctg x)x
127. y = (x2+3
128.
y =
129. y =
3 Производная обратной функции
Производная функции, заданной параметрически
3.1 Производная обратной функции
Дифференцируемая
функция y
= f(x)
с производной y
= f
′(x)
имеет однозначную непрерывную обратную
функцию x
= (y),
причем обратная функция тоже дифференцируема
и справедлива формула
x′y
=
3.2 Производная функции, заданной параметрически
Система
уравнений {
α<
t
< β
где
(t)
– дифференцируемые функции и
≠ 0, определяет у в некоторой области,
как однозначную дифференцируемую
функцию от х
y
=
(
-1(x)),
причем производная этой функции может быть найдена по формуле
y′x
=
Найти производную x′y , если
130. y = x + ln x (x>0) 131. y = sh x
132. y = x+ex 133. y = th x
Найти производную функции, заданной параметрически
134.
135.
136.
137.
138.
139.
140.
141.