7. Побудова скінченного поля

Теорема (про структуру довільного поля Галуа). Нехай – примітивний многочлен степеня над полем і – один з його коренів в його полі розкладання. Тоді – скінченне поле з елементів і кожен елемент цього поля однозначно можна зобразити у вигляді

,

де – елементи поля .

Поле, про яке йдеться в теоремі – те саме, про яке йдеться в теоремі про необхідну і достатню умову перетворення кільця многочленів на поле, тільки у ролі незвідного нормованого многочлена виступає примітивний многочлен.

Оскільки кожне поле Галуа містить підполе з елементів, то має місце наступна теорема.

Теорема (про число елементів довільного поля Галуа). Кожне поле Галуа складається з елементів, де – просте, – натуральне.

Отже, число елементів у кожному полі Галуа дорівнює степеню простого числа і кожне поле Галуа будується за допомогою арифметики за модулем незвідного нормованого многочлена.