Властивості незвідних многочленів над полем :

1. Будь-який незвідний многочлен степеня над полем є дільником многочлена .

2. Незвідний многочлен степеня над полем є дільником многочлена тоді і тільки тоді, коли .

3. Число нормованих незвідних многочленів степеня над полем дорівнює , де сума береться за всіма додатними дільниками числа , – функція Мебіуса:

Приклад 10. Знайти число нормованих незвідних многочленів степеня 4 над полем .

Розв’язання. Додатні дільники числа є 1, 2, 4. Отже

.

Отже, існує 3 нормованих незвідних многочленів степеня 4 над полем .

Щоб знайти всі незвідні многочлени даного степеня над полем , треба:

1. Знайти всі звідні нормовані многочлени даного степеня над полем .

2. Вилучити отриману множину з множини всіх можливих нормованих многочленів степеня над полем .

Зауваження. При великих і цей спосіб непридатний.

Приклад 11 Знайти всі незвідні многочлени степеня 4 над полем .

Розв’язання. Число елементів поля дорівнює . Число різних многочленів четвертого степеня над полем дорівнює :

, , , ,

, , , ,

, , , ,

, , , .

Всі потрібні звідні многочлени можна утворити, знайшовши добутки нормованих многочленів або , де всі . Після вилучення із списку всіх подібних добутків дістанемо всі незвідні многочлени степеня 4 над полем :

, , .

Їх 3, як було визначено раніше.

Розглянемо тепер питання про множину коренів незвідного многочлена над скінченним полем. На це важливе питання дають відповідь наступні теореми.

Лема. Нехай – незвідний многочлен степеня над полем. Тоді ділить многочлен тоді і тільки тоді, коли число ділить .

Теорема Галуа. Якщо – незвідний многочлен степеня над полем , то в полі міститься будь-який корінь многочлена . Більше того, всі корені многочлена прості (згадаємо, що корінь простий, якщо його кратність ) і ними є різних елементів , , ,.., поля .

З цієї теореми випливають наступні факти:

1. Незвідний многочлен над полем цілком розкладається в цьому полі, тобто, поле є полемо розкладання над полем .

2. Поля розкладання будь-яких двох незвідних многочленів одного й того самого степеня з кільця ізоморфні.

3. Кожне скінченне розширення скінченного поля є нормальним розширенням, тобто воно має властивість, що кожен незвідний многочлен з що має хоча б один корінь в полі , розкладається в цьому полі на лінійні співмножники.

4. Будь-яке скінченне поле є досконалим полем, тобто має властивість: кожний незвідний многочлен над цим полем має тільки прості корені.

5. Скінченні поля на базі кілець многочленів

Скінченні поля будуються з кілець многочленів так само, як вони будувалися з кілець класів лишків.

Означення. Для довільного зведеного многочлена ненульового степеня над полем кільцем многочленів за модулем називається множина всіх многочленів над цим полем, степені яких не перевищують степеня самого многочлена , з операціями додавання і множення многочленів за модулем . Позначають .

Довільний елемент з кільця відображається в елемент кільця за допомогою функції , де – остача від ділення многочлена на модуль . Два елементи і з кільця , що відображаються в один й той самий елемент з кільця , будуть конгруентними:

.

(тоді для деякого многочлена )

Приклад 12. Побудувати кільце многочленів за модулем над полем .

Розв’язання. Кільце многочленів за модулем складається з усіх многочленів над полем , степінь яких – не вище 2, тобто з елементів

.

У цьому кільці множення виконується, наприклад, таким чином:

,

де враховано, що у полі .

Кільце класів лишків цілих чисел за модулем утворює поле тільки коли , де – просте число. Так само, кільце утворює поле тільки коли многочлен – незвідний.

Теорема (необхідна і достатня умова перетворення кільця многочленів на поле). Кільце многочленів за модулем буде полем тоді і тільки тоді, коли многочлен – нормований і незвідний.

Якщо над полем Галуа знайдено нормований незвідний многочлен степеня , то на основі викладеної теорії можна побудувати поле Галуа, елементи якого зображуються многочленами над степенів не вище . Всього існує таких многочленів, тому і поле буде складатися з елементів.

Приклад 13. Побудувати поле як поле многочленів за модулем многочлена над полем .

Розв’язання. Многочлен є незвідним над полем , тому що він другого степеня і не має коренів в даному полі. Поле многочленів за цим модулем складається з елементів: 0,1, , , які також визначені над полем і степені яких менші за степінь многочлена . Для побудови таблиць Келі для елементів поля виконаємо операції додавання і множення над його елементами і у разі необхідності зведемо результати за модулем . Дістанемо такі таблиці:

	0	1
0	0	0	0		0
1	0	1
	0		0		1
	0		1

+	0	1
0	0	1
1	1	0
			0	1
			1	0

Після побудови таблиць можна замінити позначення елементів через многочлени на двійкові, цілочислові або інші бажані позначення.

Позначення елементів поля за допомогою

Многочленів	Двійкових чисел	Цілих чисел	Степенів
0	00	0	0
1	01	1
	10	2
	11	3

Зауваження. Одним з способів перевірки незвідності многочленів, які використовуються як модулі для побудови скінченних полів, є метод спроб і помилок, хоча безпосередня перевірка всіх можливих розкладань многочленів високих степенів ускладнена. На практиці застосовують готові таблиці незвідних многочленів над різними скінченними полями.

Приклад 14. Елементи поля Галуа – двійкові послідовності довжиною бітів, зручно розглядати у вигляді многочленів. Наприклад, байт з 8 бітів 10010101 можна зобразити многочленом .