Ю.Д.Жданова. Лекції з МОКП. М3 Скінченні поля. Лекція № 8

Лекція № 8 Тема: Многочлени над скінченними полями

План лекції:

1. Кільце многочленів над скінченним полем.

2. Операції в кільці многочленів над скінченним полем.

3. Конгруентність многочленів над скінченним полем.

4. Незвідні многочлени над скінченним полем.

5. Скінченні поля на базі кілець многочленів.

6. Примітивні многочлени.

1. Кільце многочленів над скінченним полем

Скінченні поля на базі кілець класів лишків за даним простим модулем – не єдиний приклад скінченних полів. Розберемо ще один приклад скінченних полів, який являє собою інтерес для криптографії.

Означення. Нехай – підполе поля і – деякий елемент поля . Мінімальне поле, яке містить поле і елемент , називається простим розширенням поля , яке отримане приєднанням до поля елементу . Це розширення позначається через .

Приклад. – просте розширення поля раціональних чисел .

Поняття розширення поля дозволяє вводити і використовувати велику різноманітність кілець, елементи яких визначаються як многочлени

з коефіцієнтами . Такі многочлени називаються многочленами над полем . Найбільше число таке, що коефіцієнт називається степенем многочлена і позначається . Якщо при цьому , то многочлен називається нормованим.

Множина всіх многочленів над полем утворює кільце . Операції додавання і множення кільця визначаються тими ж правилами, за якими додаються або перемножуються многочлени над полем дійсних чисел . Нулем кільця многочленів є многочлен 0, усі коефіцієнти якого дорівнюють 0.

Відзначимо, що многочлени над полем утворюють саме кільце, а не поле, тому що не існує таких многочленів степеня , які б при множенні давали б одиницю: , тобто в кільці многочленів для кожного елемента, що не є ненульовим сталим многочленом, відсутній обернений елемент.

Означення. Многочленом степеня над скінченним полем від однієї змінної називається вираз вигляду:

,

де коефіцієнти многочлена .

Приклад 1. Для многочлена над полем можна записати

.

Многочлени над скінченним полем відносно звичайних операцій додавання і множення утворюють кільце, яке називається кільцем многочленів над полем і позначається .

2. Операції в кільці многочленів над скінченним полем.

Для кільця многочленів над скінченним полем справедливі операції додавання, множення, ділення з остачею. Крім того, має місце відношення конгруентності.

Приклад 2. Знайти суму і добуток многочленів і над полем .

Розв’язання.

;

.

Означення. Якщо для многочленів і в кільці існують такі многочлени і , що многочлен можна подати у вигляді

де , то кажуть, що многочлен ділиться на многочлен з остачею.

Приклад 3. Поділити многочлен на многочлен з остачею над полем .

Розв’язання. Ділення відбувається кутом, на кожному проміжному етапі обчислень результат зводиться за модулем 2 (підкреслено подвійною рискою)

Отже, .

Приклад 4. Поділити многочлен на многочлен з остачею над полем .

Розв’язання. Ділення відбувається кутом, на кожному проміжному етапі обчислень результат зводиться за модулем 5 (підкреслено подвійною рискою)

Отже, .

У кільці зберігаються означення та властивості найбільшого спільного дільника многочленів, зокрема діє алгоритм Евкліда для визначення НСД і розширений алгоритм Евкліда для визначення лінійного представлення НСД.

Приклад 5. Знайти

а) НСД многочленів і над полем ;

б) лінійне представлення НСД многочленів і над полем .

Розв’язання. а) Дотримуючись алгоритму Евкліда, поділимо многочлен на многочлен , на кожному проміжному етапі обчислень результат зводиться за модулем 3:

Поділимо многочлен на многочлен :

Поділимо многочлен на многочлен :

Отже, .

б) За допомогою розширеного алгоритму Евкліда знайдемо лінійне представлення найбільшого спільного дільника многочленів і над полем .

Протокол роботи розширеного алгоритму Евкліда оформимо у вигляді таблиці:

					0
	1	0	1
	0	1

Таким чином, над полем

.

.