
- •Рівномірний розподіл
- •Розподіл « xи-квадрат»
- •Показовий розподіл
- •Математичне очікування
- •Рівняння виду
- •Диференціальні рівняння виду , що не містять шуканої функції
- •Загальний розв’язок лінійного однорідного рівняння з постійними коефіцієнтами
- •Линейные неоднородные уравнения с постоянными коэффициентами. Общее решение. Метод подбора.
- •Чисельні методи розв’язання диференціальних рівнянь
- •Розв’язання диференціальних рівнянь за допомогою функції odesolve в Mathcad
- •Метод Ейлера для диференціальних рівнянь першого порядку в MathCad
- •Рішення систем диференціальних рівнянь в Mathcad.
- •Рішення диференціальних рівнянь методом Рунге-Кутти
- •Розв’язання диференціальних рівнянь вищих порядків
- •Кореляційний аналіз
- •Лінійна інтерполяція.
- •Інтерполяція сплайнами
-
Рівняння виду
Розв’язок
такого рівняння знаходиться
-кратним
інтегруванням, а саме:
,
,
,
…………………………………………………
,
де
.
Оскільки
,
,
… є сталими величинами, то загальний
розв’язок можебути записаний так:
.
-
Диференціальні рівняння виду , що не містять шуканої функції
Порядок
такого рівняння можна понизити, прийнявши
за нову невідому функцію, найнижчу із
похідних даного рівняння, тобто вважаючи
.
Тоді отримаємо рівняння
.
Таким
чином, порядок рівняння знижується на
одиниць.
-
Диференціальні рівняння виду
, що однорідні відносно
,
,
, ...,
Рівняння
такого типу допускають пониження порядку
похідної при заміні
.
Розглянемо
приклад.
Розв’яжемо рівняння
.
Розділимо
обидві частини рівняння на
:
.
Запровадимо
,
звідки
,
або
.
В результаті отримаємо рівняння
,
або
,
тобто
.
Звідси, інтегруючи, знаходимо
,
або
,
або
.
-
Принцип суперпозиції будується на наступних властивостях розв’язків лінійних рівнянь:
-
Якщо
й
- два розв’язки однорідного лінійного рівняння
, то їхня лінійна комбінація
при будь-яких постійних
,
є рішенням диференціального рівняння.
-
Якщо
й
- два розв’язки неоднорідного лінійного рівняння
, то їхня різниця
є рішенням однорідного рівняння
.
-
Будь-яке розв’язок неоднорідного лінійного рівняння
є сума частинного (фіксованого) розв’язку неоднорідного рівняння й деякого рішення однорідного рівняння.
-
Якщо
й
- розв’язки неоднорідних лінійних рівнянь
і
, то їхня сума
є розв’язок рівняння
.
Наприклад,
функції
й
- два розв’язок лінійного рівняння:
,
а
функція
- розв’язок неоднорідного рівняння:
.
Підстановкою
в рівняння легко перевірити, що функція
є розв’язок однорідного рівняння при
будь-яких
,
,
а функція
- розв’язок наведеного вище неоднорідного
рівняння.
-
Загальний розв’язок лінійного однорідного рівняння з постійними коефіцієнтами
,
где
-
произвольные постоянные коэффициенты,
справедливы следующие утверждения.
-
Существует
линейно независимых решений
уравнения, а любые
решений линейно зависимы.
-
При любых значениях констант
, функция
является решением уравнения.
-
Для любых начальных значений
существуют такие значения
, что решение
удовлетворяет условиям
Выражение
называется общим
решением
линейного однородного уравнения.
-
Линейные неоднородные уравнения с постоянными коэффициентами. Общее решение. Метод подбора.
В соответствии с принципом суперпозиции общее решение линейного неоднородного уравнения может быть записано как сумма общего решения однородного уравнения и любого частного решения неоднородного уравнения.
Метод подбора применяют для отыскания частных решений неоднородных уравнений с постоянными коэффициентами и правыми частями вида:
где
,
- многочлены соответственно степени
и
.
Правые части такого вида называют
обобщенными многочленами.
Метод подбора, или метод неопределенных коэффициентов, состоит в следующем.
Искомое решение уравнения записывается в виде:
,
где
,
- многочлены степени
с неизвестными коэффициентами
.
Сомножитель
называют резонансным сомножителем.
Резонанс имеет место в случаях, когда
среди корней характеристического
уравнения есть корень
кратность
,
действительная часть которого совпадает
с коэффициентом в показателе степени
экспоненты, а мнимая – с коэффициентом
в аргументе тригонометрической функции
в правой части уравнения.
Подставив
выражение для решения с неопределенными
коэффициентами в левую часть уравнения,
получим обобщенный многочлен того же
вида, что и в правой части уравнения.
Два обобщенных многочлена равны тогда
и только тогда, когда равны коэффициенты
при сомножителях вида
,
с одинаковыми степенями
.
Приравняв коэффициенты при таких
сомножителях, получим систему
линейных алгебраических уравнений
относительно
неизвестных. Решение системы – неизвестные
коэффициенты многочленов, входящие в
искомое выражение для частного решения
неоднородного дифференциального
уравнения.