11. Показовий розподіл

Показовий розподіл був уведений для опису процесів типу ядерного розпаду й має досить широке застосування в деяких областях приблизних розрахунків, наприклад, для визначення часу безвідмовної роботи пристрою. Щільність імовірності для цього розподілу при

при x<0 p(x)=0. В Mathcad за обчислення по цій формулі відповідає спеціальна функція dexp(x,). Відповідно функція показового розподілу обчислюється в Mathcad за допомогою pexp(x, ). Використовуючи убудовані функції для показового розподілу, можна вирішувати ряд специфічних задач.

Імовірність влучення випадкової величини, розподіленої за показовим законом, на інтервал [a,b] визначається співвідношенням

де

є значення функції розподілу в кінцевих точках інтервалу, які в Mathcad легко підрахувати за допомогою функції pexp(x, ).

12. Математичне очікування

Одним з основних понять статистики є поняття математичного очікування. Якщо ж випадкова величина приймає значення з різною ймовірністю, математичне очікування обчислюється по формулі

13. У статистику дисперсією називається середнє арифметичне квадратів відхилень випадкової величини від її середнього значення:

У загальному випадку дисперсія є характеристикою ступеня розсіювання значень вибірки в порівнянні з її середньою величиною.В Mathcad проста вибіркова дисперсія обчислюється за допомогою функції var(x).Крім того, існує й функція Var(x), що визначає так звану виправлену дисперсію, використовувану на практиці для незміщеної оцінки генеральної дисперсії при малому об'ємі вибірки:

14. Розмах варіювання

Така найважливіша характеристика розсіювання варіаційного ряду, як розмах варіювання може бути дуже просто обчислена в Mathcad за допомогою двох спеціальних матричних функцій:

• max(x) - повертає максимальне значення у векторі вибірки;

• min(x) - функція знаходить мінімальну величину у вибірці.

Використовуючи описані функції, розмах варіювання можна задати як

15. Геометричне й гармонійне середнє

У ряді специфічних задач можуть бути затребувані наступні функції, що обчислюють наступні середні значення:

• gmean(x) - геометричне середнє вибірки;

• hmean(x) - гармонійне середнє.

16. Рівняння з відокремлюваними змінними, яке має вигляд

або ,

вираз

задає неявним чином загальний розв'язок .

Розв’язання задачі Коші з початковою умовою у неявному вигляді знаходиться таким чином:

.

Розглянемо приклад.

Знайдемо загальний розв’язок рівняння

.

Це рівняння з відокремлюючи ми змінними. Маємо

.

Про інтегрувавши, отримаємо розв’язок спочатку у неявному вигляді

або

.

17. Однорідні рівняння

Рівняння називається однорідним, якщо , де - довільне число.

Однорідне рівняння можна звести до рівняння з відокремлюваними змінними підстановкою , де - нова невідома функція. Нехай

; .

Тоді

, ,

, або ,

або .

18. Лінійним диференціальним рівнянням називається рівняння , де і - неперервні для всіх з області визначення рівняння. Якщо , то рівняння називається лінійним неоднорідним, якщо - лінійним однорідним.

Загальний розв’язок однорідного рівняння легко отримати відокремленням змінних:

,

або

,

де - довільна постійна.

Загальний розв’язок неоднорідного рівняння можна знайти, виходячи із загального розв’язку відповідного однорідного рівняння методом Лагранжа, варіюючи довільну постійну, тобто, вважаючи , де - деяка невизначена диференційована функція .

Для знаходження треба підставити у вихідне рівняння, що приведе до рівняння

.

Звідси

,

де - довільна постійна. Тоді шуканий загальний розв’язок лінійного неоднорідного рівняння має вигляд

.

19. Диференціальне рівняння

де , називаються рівнянням у повних диференціалах. Ліва частина такого рівняння є повний диференціал деякої функції в однозв’язній області. Якщо це рівняння переписати у вигляді , то його загальний розв’язок визначається рівністю . Функція може бути знайдена за формулою

.

Нижні границі інтервалів ( і ) довільні; їх вибір обмежується єдиною умовою – інтеграли у правій частині формули повинні мати зміст (тобто не бути розбіжними невласними інтегралами другого роду).